Đề này hình như em nộp thì phải
Thôi kệ cứ làm vậy
ta tô màu các ô đen và ô trắng xen kẽ nhau ( ô đầu tiên là ô đen)
Khi đó ta có nhận xét: Các ô đen có dạng $2^{2k}=4^{k}\equiv 1(mod3)$
Các ô trắng có dạng $2^{2k+1}=4^{k}.2\equiv 2(mod3)$
Mà mỗi lần con mã nhảy sẽ nhảy qua 2 ô khác màu nhau mà con mã muốn quay về ô đầu tiên(không ăn ở ô đầu tiên lúc đầu) thì nó sẽ phải ăn ở số ô đen bằng số ô trắng
Khi con mã nhảy vào 1 ô đen và một ô trắng thì tổng 2 ô nó ăn sẽ đồng dư với (1+2)=0(mod3). Mà nó ăn số ô đen bằng số ô trắng vậy số ngô mà con mã ăn chia hết cho 3
Ta có
$2^{2a}=4^{k}\equiv 1^{a}\left ( mod 3 \right )$
suy ra $2^{a}$ chia $3$ dư $1$
$2^{2b+1}=2.4^{k}\equiv 2.1^{b}\left ( mod3 \right )$
$2^{2b+1}$ chia $3$ dư $2$
Quay trở lại bài toán,đánh thứ tự cột từ trái sang phải là $a,b,c,d,e,f,g,h$,đánh thứ tự cột là $1,2,3,4,5,6,7,8$
gọi ô có số hạt ngô khi chia cho $3$ dư $1$ là ô trắng,gọi ô có số hạt ngô khi chia cho $3$ dư $2$ là ô đen
dễ thấy ô $a1$ là ô trắng,trong mỗi hàng, ô đen và ô trắng xen kẽ nhau theo nên ô cuối của hàng 1 (ô $a8$) là ô đen do mỗi hàng có 8 ô.
vì thế ô cuối cùng của hàng $2$ là ô trắng vì thế ô đầu tiên của hàng 2 là ô đen do mỗi hàng có 8 ô.
Lập luận như thế ta cũng có ở cột $a$ ô trắng và ô đen xen kẽ nhau.Nhưng do ô đen và ô trắng mỗi hàng xen kẽ nhau nên ô đen và ô trắng ở mỗi hàng cũng xen kẽ nhau.
Vậy ô trắng và ô đen đều xen kẽ nhau ở mỗi hàng và mỗi cột ( theo bàn cờ vua )
Dễ thấy sau mỗi lượt đi,con mã nhảy từ trắng sang ô đen và ô đen sang ô trắng.
Vì thế,sau mỗi 2 lần đi,con mã sẽ nhảy quá lanf ô trắng và 1 lần ô đen,số hạt ngô con ngựa ăn được sẽ chia hết cho 3(cho dù chúng có nhảy qua ô chúng đã đi qua hay không vì sau mỗi lần nó ăn,người ta lại đặt lại số ngô nó ăn)do $2^{2a}+2^{2b+1}\equiv 1+2\left ( mod 3 \right )$ hay chia hết cho $3$
Ta có, con ngựa xuất phát ở ô trắng và kết thúc ở ô trắng nên số nước đi của chúng là lẻ nhưng do ở ô đầu tiên nó không ăn hạt ngô đó,vì vậy số nước đi của nó là chẵn,nên số hạt ngô nó ăn chia hết cho 3 (đpcm)
MSS 34
Ta thấy được bàn cờ vua được tô màu bởi các ô đen và trắng xen kẽ nhau.
Không mất tính tông quát, ta giả sử ô cờ đầu tiên thứ nhất đặt 1 hạt ngô($2^{0}$ hạt ngô) màu trắng thì các ô trắng tiếp theo sẽ đặt $2^{2}$,$2^{4}$,...,$2^{62}$ hạt ngô, còn các ô màu đen sẽ đặt $2^{1}$,$2^{3}$,...,$2^{63}$ hạt ngô.
Con mã sẽ đứng ở ô màu trắng đầu tiên. Do con mã luôn đi từ ô trắng sang ô đen hoặc từ ô đen sang ô trắng nên từ ô đầu tiên nó sẽ đi sang ô màu đen, rồi từ ô đen đó đến ô trắng khác... cứ như vậy cho đến khi nó quay về ô trắng đầu tiên thì sô ô trắng mà nó đi nhiều hơn ô đen 1 ô (do khi đi nó bắt đầu từ ô màu trắng, khi quay về nó cũng về ô màu trắng và nó đi xen kẽ từ trắng sang đen và ngược lại)
Mà theo giả thiết nó không ăn hạt ngô ở ô đầu mà khi trở về ô đầu nó mới ăn và khi nó ăn ngô ở ô nào thì người ta lại đặt số ngô bằng số ngô ban đầu ở ô đó (khi nó quay lại 1 ô nào đó trên bàn cờ khác ô đầu tiên thì nó vẫn có thể ăn số ngô bằng số ngô trước đó) nên số ô đen mà nó ăn ngô cũng bằng số ô trắng mà nó ăn ngô.
Lại có: các ô trắng được đặt $2^{2}$,$2^{4}$,...,$2^{62}$ hạt ngô (số mũ chẵn ) nên ta đặt số ngô trong mỗi ô trắng là $2^{2k}$($k\in \mathbb{N}$,$k\leq 31$)
Tương tự ta đặt số ngô trong mỗi ô đen là $2^{2q+1}$ ($q\in \mathbb{N}$,$q\leq 31$)
do số ô đen mà nó ăn ngô cũng bằng số ô trắng mà nó ăn ngô nên ta gọi số ô đen(trắng) mà nó đi đến và đồng thời ăn ngô là $n$ ($n\in \mathbb{N}$,$n\geq 1$)
Từ đó ta có số ngô mà nó ăn là:
$n.2^{2k}+n.2^{2q+1}=n(4^{k}+4^{q}.2)$
$4\equiv 1(mod 3)$$\Leftrightarrow 4^{k}\equiv 1(mod 3)$ và $4^{q}.2\equiv 2(mod 3)$
nên $4^{q}.2+4^{k}\equiv 3\equiv 0(mod 3)$$\Leftrightarrow n(4^{q}.2+4^{k})\equiv 0(mod 3)$
Suy ra số ngô mà nó ăn chia hết cho 3 (đpcm)
SBD:15
Lời giải.
Untitled.png
Ta đánh số thứ tự vào các ô trong bàn cờ vua như hình vẽ. Ô thứ $n$ có nghĩa là ô đó có $2^n$ hạt ngô trong ô.
Ta sẽ chứng minh rằng con mã đứng ở ô thứ $k$ bất kì, sau khi đi lòng vòng và trở lại ăn hat ngô ở ô thứ $k$ (ban đầu nó không ăn ở ô đó) thì số ngô con mã ăn luôn chia hết cho $3$.
Ở đây, ta định nghĩa ô chẵn là ô có số thứ tự chẵn, ô lẻ là ô có số thứ tự lẻ. Ta có hai nhận xét sau:
Nhận xét 1. Số ngô ở mỗi ô: Ô chẵn thì có số ngô trong ô luôn chia $3$ dư $1$, ô lẻ có số ngô trong ô chia $3$ dư $2$ (vì $2^{2k} \equiv 1 \pmod{3}$ và $2^{2k+1} \equiv 2 \pmod{3}$ với mọi $k \in \mathbb{N}$).
Nhận xét 2. Nước đi của con mã: Nếu ban đầu nó đứng ở ô chẵn thì sau bước di chuyển tiếp theo, nó đứng ở ô lẻ. Và ngược lại, nếu ban đầu nó đứng ở ô lẻ thì ở bước di chuyển tiếp theo, nó sẽ đứng ở ô chẵn. (Điều này có thể nhận thấy khi nhìn vào bàn cờ).
Đầu tiên, ta hãy xét trường hợp con mã bắt đầu tại ô chẵn. Sau lượt di chuyển đầu tiên, con mã bước vào ô lẻ. Và vì con mã không ăn tại ô đầu tiên nó đứng nên số ngô con mã ăn lúc đó chia $3$ dư $2$. Sau lượt di chuyển thứ hai, con mã bước vào ô chẵn, số ngô con mã ăn lúc đó sẽ chia $3$ dư $2+1=3$ hay chia hết cho $3$.
Hành trình của con mã cứ tiếp tục như vậy. Và tính từ sau lượt di chuyển thứ nhất của con mã (lúc đó con mã ở ô lẻ), thì cứ hai lượt di chuyển từ ô lẻ đến ô chẵn, số ngô mà con mà con mã ăn sẽ được cộng thêm với một số chia hết cho $3$.
Theo như đề bài, con mã sau khi đi lòng vòng sẽ quay lại ô đầu tiên nó bắt đầu, tức là ô chẵn. Điều đó đồng nghĩa với việc hai lượt di chuyển ô lẻ đến ô chẵn của con mã cứ tiếp diễn cho đến khi nó kết thúc di chuyển. Hay nói, cách khác, số ngô của con mã luôn được cộng với một số chia hết cho $3$. Mặt khác, ban đầu, con mã đã không ăn ô nó khởi đầu nên số ngô ban đầu của nó là $0$ (chia hết cho $3$) . Và cứ sau hai bước di chuyển đó, kết cục, số ngô con mã luôn là số chia hết cho $3$.
Trong trường hợp nó khởi đầu bởi ô lẻ, chứng minh hoàn toàn tương tự.
Vậy số ngô mà con mã ăn luôn chia hết cho $3$. $\blacksquare$
[Mở rộng 1 của Jinbe]
MSS 54:
Mở rộng: Với những điều kiện về số ngô trong mỗi ô bàn cờ đã cho ở bài toán và lúc này, ở mọi vị trí xuất phát trên bàn cờ của quân mã (không nhất thiết là ô đầu tiên) thì nó đi lòng vòng và ăn các hạt ngô trong ô nó nhảy đến( con mã di chuyển theo hình chữ L - 3 ô như đối với môn cờ vua) nhưng nó không ăn ở ô ban đầu và không nhảy trở lại ô ban đầu. Sau mỗi lần nó ăn người ta lại đặt số ngô bằng số ngô ban đầu vào trong ô đó. Sau khi con mã đi xong nó quay trở về ô ban đầu và ăn nốt hạt ngô ở ô đó.
Lúc này thì số ngô mà quân mã ăn cũng luôn chia hết cho 3.
Thật vậy: Ta cũng tô ô bàn cờ $8 \times 8$ sao cho các ô chứa số hạt ngô có số lũy thừa của 2 là lẻ thì màu đen, ngược lại, các ô chứa số hạt ngô có số lũy thừa của 2 là chẵn thì màu trắng, hình vẽ cụ thể như sau:
Xét quân mã xuất phát ở vị trí một ô màu trắng bất kì thì khi quân mã di chuyển theo hình chữ L - 3 ô như đối với môn cờ vua thì mỗi lần di chuyển, quân mã sẽ đi đến một ô màu khác với ô hiện tại.
Do quân mã này không ăn ở ô ban đầu và không nhảy trở lại ô ban đầu, nên:
Ô đầu tiên nó đi đến là ô màu đen;
Ô thứ hai nó đi đến là ô màu trắng;
Ô thứ ba nó đi đến là ô màu đen; ...
Quá trình cứ tiếp tục như vậy thì ta thấy nếu kết thúc bước đi của quân mã là ô màu đen thì số ô màu đen nó đã đi hơn số ô màu trắng là 1; còn nếu kết thúc bước đi của quân mã là ô màu trắng thì số ô màu đen và trắng nó đã đi là bằng nhau.
Mà theo bài thì sau khi con mã đi xong nó quay trở về ô ban đầu và ăn nốt hạt ngô ở ô đó nên ô cuối cùng nó đi đến là ô màu trắng.
Vậy ta có số ô màu đen và trắng nó đã đi là bằng nhau; tức số ô chứa số hạt ngô có số lũy thừa của 2 là lẻ và số ô chứa số hạt ngô có số lũy thừa của 2 là chẵn mà quân mã đã đi qua là như nhau. (*)
Ta nhận xét số ngô ở mỗi ô đen và trắng có dạng là $2^{2k+1}$ và $2^{2k}$ với $k \in N$
Ta có $2^2 \equiv 1$ (mod 3) nên $2^{2k} \equiv (2^2)^k \equiv 1^k = 1$ (mod 3) Suy ra $2^{2k+1}=2^{2k}.2 \equiv 1.2=2$ (mod 3)
Như vậy số ngô quân mã đã ăn ở mỗi ô đen đều chia 3 dư 2 và số ngô con mã đã ăn ở mỗi ô trắng đều chia 3 dư 1.
Kết hợp (*) thì ta có tổng số ngô mà con mã đã ăn sẽ chia cho 3 dư là 0, tức chia hết cho 3.
Xét quân mã xuất phát ở vị trí một ô màu đen bất kì thì lập luận tương tự trên ta cũng có tổng số ngô mà con mã đã ăn sẽ chia cho 3 dư là 0, tức chia hết cho 3.
Vậy bài toán được c/m.
Theo mình, các bạn đều sai ngay ở phần màu đỏ , bởi:
Ô đen vừa có thể có lũy thừa chẵn hoặc lẻ của 2
Và tương tự ô trắng cũng vừa có thể có lũy thừa chẵn hoặc lẻ của 2
Cả 2 điều này đều không phụ thuộc vào ô mà quân mã bắt đầu đi (dù đó là ô có lũy thừa lẻ hay chẵn của 2)
Lấy ví dụ:
6.jpg 20.74K
0 Số lần tải
Giả sử quân mã bắt đầu đi ở ô đầu tiên tức số hạt ngô ở $A8$ là $1=2^{0}$ . Vậy lũy thừa ( ở đây nói tắt là của 2 luôn) là chẵn ($0$ chẵn ?)
Vậy $8$ ô tiếp theo tức $A7$ có lũy thừa chẵn hay lẻ? Chẵn + chẵn ( $8$ chẵn?) = chẵn. Vậy $A7$ có lũy thừa chẵn ( các bạn có thể đếm tay : chẵn, lẻ, chẵn , lẻ,... để kiểm tra xem)
A! Thấy là lạ!! $A7$ là đen mà có lũy thừa chẵn là sao? Chẳng sao cả vì nó là như vậy!!
Tiếp theo $A7$ chẵn thì tương tự $A6$ cũng chẵn và cả cột $A$ đó đều chẵn vì đây là bàn cờ $8 \times 8$ (gt). $A6$ chẵn thì ô tiếp theo $B6$ hiển nhiên là lẻ! Đây lại là một ô đen nhưng lũy thừa lại lẻ!!
Tương tự cho ô trắng nhé!
$A8$ lũy thừa chẵn , mình đã giả sử rồi. Theo trên lại thấy $A7$ cũng lũy thừa chẵn , vậy $B7$ có lũy thừa lẻ. Phi lí không? Không hề!
Thêm chắc chắn, giả sử mã ở ô có luỹ thừa lẻ , mà điều này có thể xảy ra không? Quân mã ở ô đầu tiên trên bàn cờ? Có $4$ ô đầu tiên? Mà theo đề có ô 1 đặt 1 hạt ngô vậy ô $1$ này là ô đầu tiên? ( Đề có nhiều chỗ chưa rõ thật)
Thôi cứ giả sử nó ở ô có luỹ thừa lẻ cho là $H1$ đi , $H1$ có số hạt ngô $2^{63}$ đây là luỹ thừa lẻ nhỉ?
Kế bên nó là $G1$ có luỹ thừa chẵn, trên nó $H2$ có luỹ thừa lẻ vì : lẻ + chẵn ( từ $H1$ đến $H2$ cách $8$ ô : chẵn) = lẻ. Dễ thấy $2$ ô màu đen có lũy thừa ô chẵn ô lẻ! Đến đây thì chẳng cần tương tự cho ô trắng làm gì nhỉ?
Vậy điều mình bôi đen in nghiêng ở trên là đúng?