Đến nội dung

Hình ảnh

$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$



#2
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$

BĐT cần cm tương đương

$3(a^4+b^4+c^4)\geq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3)$

$\Leftrightarrow 2(a^4+b^4+c^4)\geq \sum a^3b+\sum ab^3$

Theo bđt Cô si $\sum a^3b+\sum ab^3\leq a^4+b^4+c^4+\sum a^2b^2\leq 2(a^4+b^4+c^4)$

Do đó ta có đpcm



#3
datcoi961999

datcoi961999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 263 Bài viết

Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Áp dụng bđt Cauchy ta có $a^2+1\geq 2a$ tương tự $$=>a^2+b^2+c^2\geq 2a+2b+2c-3=a+b+c$$

Lại có $a^3+a\geq 2a^2$ tương tự $$=>a^3+b^3+c^3\geq 2a^2+2b^2+2c^2-a-b-c\geq a^2+b^2+c^2$$

CM tương tự =>$$a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$$

Sử dụng quy nạp toán học ta có thể chứng minh được $$a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}\geq a^n+b^n+c^n$$ với mọi $n$ là số tự nhiên***


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datcoi961999: 14-03-2014 - 22:22

                 :dislike    :off: ZION   :off:  :like                                                                                     98efb2f1bfc2432fa006b3d7d9f1f655.0.gif

                                                    


#4
mathvvn

mathvvn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

cm $a^{4}-a^{3}\geq a-1$

sau đó cộng các bđt vế theo vế



#5
Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết

Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$

AD nhiều lần Bunhia ta được

+/ \sum a^{2}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{3}=3

+/ \sum a^{3}.\sum a\geq \left ( \sum a^{2} \right )^{2}\geq \sum a.\sum a^{2}\Rightarrow \sum a^{3}\geq \sum a^{2}

+/ \sum a^{4}.\sum a^{2}\geq \left ( \sum a^{3} \right )^{2}\geq \sum a^{2}.\sum a^{3}\Rightarrow \sum a^{4}\geq \sum a^{3}

Bài toán được chứng minh...


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh