Đến nội dung

Hình ảnh

Langson's Examination for gifted students of mathematics in English 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

No calculators are allowed

 vmf.jpg

MULTIPLE CHOICE QUESTIONS

 

Question 1. What is the value of positive $n$ if

$$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=10$$

(A) $142$

(B) $143$

(C) $145$

(D) $146$

(E) $147$

 

Question 2. Let $x\geq 3$ be a positive real number. What is the smallest positive value of $S=x+\frac{1}{x}$.

(A) $2$

(B) $3$

(C) $\frac{10}{3}$

(D) $4$

(E) $\frac{13}{3}$

 

Question 3. What is the last digit of the integer $1!+2!+3!+...+2014!$ ?

(A) $3$

(B) $4$

(C) $5$

(D) $6$

(E) $8$

 

Question 4. How many pairs $(x;y)$ of nonnegative intergers satisfy the following equation?

$$106x^2+19y=2014$$

(A) $0$

(B) $1$

(C) $2$

(D) $3$

(E) $4$

Question 5. How many roots are there in the following equation?

$$(x-1)(x^2-2)(x^3-27)...(x^{2014}-2014^{2014})=0$$

(A) $3051$

(B) $2014$

(C) $3021$

(D) $4028$

(E) None of above

 SHORT ANSWER

Question 6. Given a function $f:\mathbb{R} \setminus  \{ 0 \} \to \mathbb{R}$ such that $f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} \right) = x$. Find $f(2014)$.

Question 7.  Let $P = 2013^{4028} + 2014^{2013}$. Prove that $P$ is divisible by $5$.

Question 8. Show that $f(n) = n^4 +3n^2-2n+3$ is a composite number, for any $n > 1, n \in \mathbb{Z}$.

Question 9.  Find all pairs of the nonnegative integers $(x;y)$ such that $x^3+8x^2-6x+8=y^3$

Question 10. Let $O$ be the incenter of a triangle $ABC$. Given two points $M$ and $K$ on sides $AC$ and $BC$ respectively, so that $BK.BA = BO^2$ and $AM.AB=AO^2$. Prove that $M,K,O$ are collinear.

Question 11. Let $X$ be arbitrary point on the side $AB$ of a triangle $ABC (AB < AC)$. Suppose that $XD$ is the internal bisector of the triangle $BXC$ ($D$ lies on $BC$). Take a point $S$ on the extension of the $BC$ such that $\widehat{SXD}=90^o$. A line passing $S$ meets $AB,AC$ at $F,E$ respectively. Prove that three segments $AD,BE,CF$ are concurrent.

Question 12. Let $(O)$ be the circumcircle of an acute triangle $ABC$. Suppose that points $B,C$ and circle $(O)$ are fixed. Let $M$ be the midpoint of side $BC$ and $S$ be the midpoint of $AM$. The line $AO$ meets $(O)$ again at $N$. Let $P$ be the midpoint of the $MN$. Prove that the circumcircle of triangle $SOP$ always goes through a fixed point when point $A$ moves along circle $(O)$.

Question 13. Solve the following system in real numbers:

$$\left\{\begin{matrix}2x^2 +y^2 + y &=& 3xy +2x\\x^2+y^2&=&13\end{matrix}\right.$$

Question 14. Find the minimum value of $P = \frac{a^2}{b}+ \frac{b^2}{c}+ \frac{c^2}{a}$, in which $a,b,c$ are postive real numbers and $a+b+c=1$.

Question 15. Each of ten segment in longer than $37$ but shorter than $1014$. Prove that you can select three sides of a triangle among the segments.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
lehoangphuc1820

lehoangphuc1820

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Question 7 Let $P = 2013^{4028} + 2014^{2013}$. Prove that $P$ is divisible by $5$.

 

.We have: $2013\equiv -2(mod 5)$

It follows $2013^{4028} \equiv (-2)^{4028} \equiv 4^{1024} \equiv (-1)^{1024} \equiv 1(mod 5)  (1)$

.We have $2014  \equiv -1 (mod 5)$

It follows $2014^{2013} \equiv (-1)^{2013} \equiv -1(mod 5) (2)$

From $(1)$ and $(2)$ we get: $P = 2013^{4028} + 2014^{2013} \equiv 1+(-1) \equiv 0 (mod 5)$

Therefore $P\vdots 5$

 


- Một người giỏi Vật Lí là 1 người luôn đi đúng hướng giải và tìm ra đáp án mà không có gì giải thích được tại sao làm theo hướng đó lại đúng. ĐÓ LÀ SỰ NHẠY BÉN CỦA VẬT LÍ
- Một người giỏi Toán là người luôn tìm ra nhiều hướng giải cho 1 bài tập và sau đó biết hướng nào sẽ bế tắc, hướng nào sẽ đơn giản nhất để lựa chọn cách giải phù hợp nhất. ĐÓ LÀ SỰ THÔNG MINH CỦA TOÁN HỌC
- Một người giỏi Hóa là người đọc đề sẽ biết được dữ kiện này dùng để làm gì. Từ dữ kiện này sẽ được kết hợp với các dữ kiện khác như thế nào để tìm ra đáp án chính xác. ĐÓ LÀ SỰ LOGIC CỦA HÓA HỌC
 

#3
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết

 

MULTIPLE CHOICE QUESTIONS

 

Question 1. What is the value of positive $n$ if

$$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=10$$

(A) $142$

(B) $143$

(C) $145$

(D) $146$

(E) $147$

 

Question 2. Let $x\geq 3$ be a positive real number. What is the smallest positive value of $S=x+\frac{1}{x}$.

(A) $2$

(B) $3$

(C) $\frac{10}{3}$

(D) $4$

(E) $\frac{13}{3}$

 

Question 5. How many roots are there in the following equation?

$$(x-1)(x^2-2)(x^3-27)...(x^{2014}-2014^{2014})=0$$

(A) $3051$

(B) $2014$

(C) $3021$

(D) $4028$

(E) None of above

 

 

 

Question 1. B.

 

Question 2. C.

 

Question 5. C.



#4
lehoangphuc1820

lehoangphuc1820

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Question 1. B.

 

Question 2. C.

 

Question 5. C.

Bạn làm cách nào thế


- Một người giỏi Vật Lí là 1 người luôn đi đúng hướng giải và tìm ra đáp án mà không có gì giải thích được tại sao làm theo hướng đó lại đúng. ĐÓ LÀ SỰ NHẠY BÉN CỦA VẬT LÍ
- Một người giỏi Toán là người luôn tìm ra nhiều hướng giải cho 1 bài tập và sau đó biết hướng nào sẽ bế tắc, hướng nào sẽ đơn giản nhất để lựa chọn cách giải phù hợp nhất. ĐÓ LÀ SỰ THÔNG MINH CỦA TOÁN HỌC
- Một người giỏi Hóa là người đọc đề sẽ biết được dữ kiện này dùng để làm gì. Từ dữ kiện này sẽ được kết hợp với các dữ kiện khác như thế nào để tìm ra đáp án chính xác. ĐÓ LÀ SỰ LOGIC CỦA HÓA HỌC
 

#5
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết

Bạn làm cách nào thế

 

Question 1. What is the value of positive $n$ if

$$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=10$$

(A) $142$

(B) $143$

(C) $145$

(D) $146$

(E) $147$

 

 

Biến đổi: $\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \\ =\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{(\sqrt{5}-\sqrt{4})(\sqrt{4}+\sqrt{5})}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{6})}+...+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})} \\ =\sqrt{5}-\sqrt{4}+\sqrt{6}-\sqrt{5}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \\ =\sqrt{n+1}-\sqrt{4}$

 

Hay $\sqrt{n+1}-\sqrt{4}=10$ từ đó tính ra n = 143.

 

Question 2. Let $x\geq 3$ be a positive real number. What is the smallest positive value of $S=x+\frac{1}{x}$.

(A) $2$

(B) $3$

(C) $\frac{10}{3}$

(D) $4$

(E) $\frac{13}{3}$

 

 

 

Dự đoán dấu = của Min S khi x = 3, thay vào thì $Min S=\frac{10}{3}$

 

Thật vậy: $S=x+\frac{1}{x}=\Big( \frac{x}{9}+\frac{1}{x} \Big) +\frac{8x}{9} \geq 2.\sqrt{\frac{x}{9}.\frac{1}{x}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}$



#6
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết

Question 5. How many roots are there in the following equation?

$$(x-1)(x^2-2)(x^3-27)...(x^{2014}-2014^{2014})=0$$

(A) $3051$

(B) $2014$

(C) $3021$

(D) $4028$

(E) None of above

 

 

Nhận thấy pt cho tương đương với $x^k-k^k=0$ hay $x^k=k^k(k \in N; 1\leq k \leq 2014)$ 

 

- Xét k lẻ thì các pt luôn có 1 nghiệm duy nhất, mà có 1007 số k lẻ nên sẽ có 1007 nghiệm x.

 

- Xét k chẵn thì pt luôn có 2 nghiệm (vì x có thể âm hoặc dương), mà có 1007 số k chẵn nên sẽ có 2014 nghiệm x.

 

Cộng cả hai T.h vào thì đc số nghiệm x thỏa mãn là 3021 :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 18-03-2014 - 20:51


#7
deathavailable

deathavailable

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết

 

No calculators are allowed

 vmf.jpg

MULTIPLE CHOICE QUESTIONS

 

 

 SHORT ANSWER

Question 6. Given a function $f:\mathbb{R} \setminus  \{ 0 \} \to \mathbb{R}$ such that $f(x) + 2f\left( \frac{1}{x} \right) = x$. Find $f(2014)$.

 

Thay $x$ bởi $\frac{1}{x}$ ta thu được $f(\frac{1}{x}) + 2f\left( x \right) = \frac{1}{x}$

 

có hệ phương trình ẩn $f(x)$ và $f(\frac{1}{x})$ tính các định thức $D_{f(x)}, D$ suy ra $f(x)$


Ế là xu thế mang tầm cỡ quốc tế của các cấp bậc vai vế

 


#8
deathavailable

deathavailable

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết

 

No calculators are allowed

 vmf.jpg

MULTIPLE CHOICE QUESTIONS

 

Question 14. Find the minimum value of $P = \frac{a^2}{b}+ \frac{b^2}{c}+ \frac{c^2}{a}$, in which $a,b,c$ are postive real numbers and $a+b+c=1$.

 

Not certainly, i guess :))

 

follow Cauchy - Schwarz , we get $P \ge \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c=1$

 

The equality holds if $x=y=z=\frac{1}{3}$


Ế là xu thế mang tầm cỡ quốc tế của các cấp bậc vai vế

 


#9
deathavailable

deathavailable

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết

 

 

Question 13. Solve the following system in real numbers:

$$\left\{\begin{matrix}2x^2 +y^2 + y &=& 3xy +2x\\x^2+y^2&=&13\end{matrix}\right.$$

 

Từ phương trình thứ nhất, ta phân tích thành nhân tử thu được  $x=y+1$ và $2x=y$ thay vào $(2)$  thu được 4 nghiệm :))


Ế là xu thế mang tầm cỡ quốc tế của các cấp bậc vai vế

 


#10
deathavailable

deathavailable

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết

 

 

Question 9.  Find all pairs of the nonnegative integers $(x;y)$ such that $x^3+8x^2-6x+8=y^3$

 

 

đánh giá $(x+1)^3<y^3 \leq (x+6)^3$ đến đây xét từng trường hợp là được :)) 


Ế là xu thế mang tầm cỡ quốc tế của các cấp bậc vai vế

 


#11
lehoangphuc1820

lehoangphuc1820

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Nhận thấy pt cho tương đương với $x^k-k^k=0$ hay $x^k=k^k(k \in N; 1\leq k \leq 2014)$ 

 

- Xét k lẻ thì các pt luôn có 1 nghiệm duy nhất, mà có 1007 số k lẻ nên sẽ có 1007 nghiệm x.

 

- Xét k chẵn thì pt luôn có 3 nghiệm (vì x có thể âm hoặc dương), mà có 1007 số k chẵn nên sẽ có 2014 nghiệm x.

 

Cộng cả hai T.h vào thì đc số nghiệm x thỏa mãn là 3021 :D

Chỗ này phải là 2 chứ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoangphuc1820: 18-03-2014 - 18:36

- Một người giỏi Vật Lí là 1 người luôn đi đúng hướng giải và tìm ra đáp án mà không có gì giải thích được tại sao làm theo hướng đó lại đúng. ĐÓ LÀ SỰ NHẠY BÉN CỦA VẬT LÍ
- Một người giỏi Toán là người luôn tìm ra nhiều hướng giải cho 1 bài tập và sau đó biết hướng nào sẽ bế tắc, hướng nào sẽ đơn giản nhất để lựa chọn cách giải phù hợp nhất. ĐÓ LÀ SỰ THÔNG MINH CỦA TOÁN HỌC
- Một người giỏi Hóa là người đọc đề sẽ biết được dữ kiện này dùng để làm gì. Từ dữ kiện này sẽ được kết hợp với các dữ kiện khác như thế nào để tìm ra đáp án chính xác. ĐÓ LÀ SỰ LOGIC CỦA HÓA HỌC
 

#12
lehoangphuc1820

lehoangphuc1820

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

 

No calculators are allowed

 vmf.jpg

MULTIPLE CHOICE QUESTIONS

 

 

 

Question 4. How many pairs $(x;y)$ of nonnegative intergers satisfy the following equation?

$$106x^2+19y=2014$$

(A) $0$

(B) $1$

(C) $2$

(D) $3$

(E) $4$

 

Since $x;y$ are nonnegative integers then $x\leq 4$

We will cosider 5 cases with $x=1;2;3;4$

We find $x=1;2;3$ or $4$ are not the solution of the equation.

Therefore we choose (A)


- Một người giỏi Vật Lí là 1 người luôn đi đúng hướng giải và tìm ra đáp án mà không có gì giải thích được tại sao làm theo hướng đó lại đúng. ĐÓ LÀ SỰ NHẠY BÉN CỦA VẬT LÍ
- Một người giỏi Toán là người luôn tìm ra nhiều hướng giải cho 1 bài tập và sau đó biết hướng nào sẽ bế tắc, hướng nào sẽ đơn giản nhất để lựa chọn cách giải phù hợp nhất. ĐÓ LÀ SỰ THÔNG MINH CỦA TOÁN HỌC
- Một người giỏi Hóa là người đọc đề sẽ biết được dữ kiện này dùng để làm gì. Từ dữ kiện này sẽ được kết hợp với các dữ kiện khác như thế nào để tìm ra đáp án chính xác. ĐÓ LÀ SỰ LOGIC CỦA HÓA HỌC
 

#13
angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết

Chỗ này phải là 2 chứ

 

Ờ, gõ nhầm :P



#14
Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết

 

No calculators are allowed

 vmf.jpg


Question 11. Let $X$ be arbitrary point on the side $AB$ of a triangle $ABC (AB < AC)$. Suppose that $XD$ is the internal bisector of the triangle $BXC$ ($D$ lies on $BC$). Take a point $S$ on the extension of the $BC$ such that $\widehat{SXD}=90^o$. A line passing $S$ meets $AB,AC$ at $F,E$ respectively. Prove that three segments $AD,BE,CF$ are concurrent.

 

Em xin giải bài hình !

 

Áp dụng định lý Menelaus thì : $\frac{AE}{EC}.\frac{CS}{SB}.\frac{BF}{FA}=1$ (1)

 

Nhận xét rằng SX vuông góc với XD nên XS là phân giác ngoài $\bigtriangleup BXC$, mặt khác XD là pg trong nên theo t/c đường phân giác:

 

$\frac{SC}{SB}=\frac{CD}{DB}(=\frac{XC}{XB})$ (2)

 

Từ (1) và (2) : $\rightarrow \frac{AE}{EC}.\frac{CD}{DB}.\frac{BF}{FA}=1$

 

Theo đ/l đảo Ceva $\rightarrow concurrent$


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#15
Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết

 

No calculators are allowed

 vmf.jpg


Question 10. Let $O$ be the incenter of a triangle $ABC$. Given two points $M$ and $K$ on sides $AC$ and $BC$ respectively, so that $BK.BA = BO^2$ and $AM.AB=AO^2$. Prove that $M,K,O$ are collinear.

 


 

 

Em xin giải bài hình Ques 10 ạ !

 

Kéo dài AO cắt BC tại N.

 

Từ gt ta có : $BK.AB=BO^2=>\frac{BK}{BO}=\frac{BO}{AB}$

 

Vậy $\bigtriangleup BOK \sim \bigtriangleup BAO ( c.g.c )$

 

Chứng minh tương tự ta có :  $\bigtriangleup AMO \sim \bigtriangleup AOB (c.g.c)$

 

$\rightarrow \bigtriangleup AMO \sim \bigtriangleup OKB$

 

$\rightarrow \angle MOA=\angle KBO$ (1)

 

Mặt khác ta có

 

$\begin{cases} & \text{ } \angle KOB=\angle MAO=1/2\angle A \\ & \text{ } \angle NOB=1/2 \angle A+\angle KBO \end{cases}$

 

Trừ về cho vế của hệ được : $\angle NOK=\angle KBO$ (2)

 

Từ (1) và (2) ta được A,O,N thẳng hàng

 

$\rightarrow Q.E.D$


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh