Câu 1: Giả sử $f(x)$ là hàm liên tục trên $[a,b]$ và thỏa mãn:
$f(\frac{x_1+x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
Chứng minh rằng:
$f(\frac{a+b}{2})(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq (\frac{f(a)+f(b)}{2})(b-a)$.
Câu 2: Cho $f:[a,b] \rightarrow (a,b)$ là hàm liên tục. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ luôn tồn tại số dương $\alpha$ và $c \in (a,b)$ sao cho:
$f( c)+f(c+\alpha)+...+f(c+n.\alpha)=(n+1)(c+\frac{n}{2}.\alpha)$.
Câu 3: Cho hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên $[0,1]$. Chứng minh rằng:
$\lim_{n \rightarrow +\infty}(\int_{0}^{1}f^n(x)dx)^{\frac{1}{n}}=\max_{x \in [0,1]}f(x)$.
Câu 4: Cho các số thực dương $a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n$ thõa mãn:
$a_1^x+a_2^x+...+a_n^x \geq b_1^x+b_2^x+...+b_n^x$ với mọi $x$. Xét tính đơn điệu của hàm số:
$f(x)=(\frac{a_1}{b_1})^x+(\frac{a_2}{b_2})^x+...+(\frac{a_n}{b_n})^x$.
Câu 5: Cho hàm $u(x)$ dương liên tục trên $[0; \infty )$, hàm $\varphi \left( x \right)$ tăng và khả vi trên $[0;\infty )$, $\varphi \left( 0 \right)=1$
Biết rằng với mọi $x\ge 0$ ta có: $u\left( x \right) \le 1 + \int\limits_0^x {\frac{{\varphi '\left( t \right)}}{{\varphi \left( t \right)}}} u\left( t \right)dt$
Chứng minh: $u(x) \le \varphi \left( x \right)$ trên $[0;\infty )$
Bài 6: Cho $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số liên tục. Giả sử tồn tại một hàm khả vi $\varphi (x)$ sao cho:
$$\varphi' (x)=g(\varphi (x)),\forall x\in \mathbb{R}$$
Chứng minh rằng nếu $\lim_{x \to +\infty} \varphi (x)=b$ thì $g(b)=0$
Bài 7: Cho hàm số $f:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau:
1. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \big[ f(x+1)-f(x) \big] = +\infty$.
2. $f$ bị chặn trên mọi khoảng con hữu hạn chứa trong $(0,+\infty)$.
Chứng minh rằng:
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty$$
