Chủ đề này có 5 trả lời

[buitudong1998]

GPT: $2^{x^{5}}+4^{x^{4}}+256^{4}=3.16^{x^{3}}$

[chanhquocnghiem]

GPT: $2^{x^{5}}+4^{x^{4}}+256^{4}=3.16^{x^{3}}$

Pt đã cho tương đương với $2^{x^5}+2^{2x^4}-3.2^{4x^3}+2^{32}=0$ (*)

Đặt vế trái của (*) là $f(x)$ ($f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$)

$f'(x)=2^{x^5}.ln2.5x^4+2^{2x^4}.ln2.8x^3-3.2^{4x^3}.ln2.12x^2=(5x^4.2^{x^5}+8x^3.2^{2x^4}-36x^2.2^{4x^3})ln2$

$f'(x)=0\Leftrightarrow x=0$ và $x=2$

Xét trên $3$ khoảng $(-\infty;0);(0;2);(2;+\infty)$

$f'(x)$ dương trên $(2;+\infty)$ và âm trên $2$ khoảng còn lại

$\Rightarrow f(x)$ đạt GTNN khi và chỉ khi $x=2$

$\Rightarrow f(x)\geqslant f(2)=0$

$\Rightarrow$ pt đã cho có nghiệm duy nhất $x=2$

[Juliel]

GPT: $2^{x^{5}}+4^{x^{4}}+256^{4}=3.16^{x^{3}}$

Lời giải :

Nếu $x<0$ thì $3.16^{x^3}<1$, trong khi $256^4>1$, phương trình vô nghiệm. Xét $x$ không âm.

Theo BĐT $AM-GM$ :

$$2^{x^5}+4^{x^4}+256^4\geq 3\sqrt[3]{2^{x^5}.4^{x^4}.256^4}=3\sqrt[3]{2^{x^5+2x^4+32}}\geq 3\sqrt[3]{2^{3\sqrt[3]{x^5.2x^4.32}}}=3\sqrt[3]{2^{12.x^3}}=3.16^{x^3}$$

Dấu bằng phải xảy ra khi và chỉ khi $$\left\{\begin{matrix} 2^{x^5}=4^{x^4}=256^4\\ x^5=2x^4=32 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2$$

Nghiệm của phương trình là $x=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 16-03-2014 - 14:55

[mathandyou]

Lời giải :

Theo BĐT $AM-GM$ :

$$2^{x^5}+4^{x^4}+256^4\geq 3\sqrt[3]{2^{x^5}.4^{x^4}.256^4}=3\sqrt[3]{2^{x^5+2x^4+32}}\geq 3\sqrt[3]{2^{3\sqrt[3]{x^5.2x^4.32}}}=3\sqrt[3]{2^{12.x^3}}=3.16^{x^3}$$

Dấu bằng phải xảy ra khi và chỉ khi $$\left\{\begin{matrix} 2^{x^5}=4^{x^4}=256^4\\ x^5=2x^4=32 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2$$

Nghiệm của phương trình là $x=2$

x>0 không chú?

[Juliel]

x>0 không chú?

Đã sửa. Tks anh !

[shinichigl]

tks thì phải nhấn Thích chứ bạn 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 17-04-2014 - 21:22