GPT: $2^{x^{5}}+4^{x^{4}}+256^{4}=3.16^{x^{3}}$
GPT: $2^{x^{5}}+4^{x^{4}}+256^{4}=3.16^{x^{3}}$
#2
Đã gửi 16-03-2014 - 07:54
GPT: $2^{x^{5}}+4^{x^{4}}+256^{4}=3.16^{x^{3}}$
Pt đã cho tương đương với $2^{x^5}+2^{2x^4}-3.2^{4x^3}+2^{32}=0$ (*)
Đặt vế trái của (*) là $f(x)$ ($f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$)
$f'(x)=2^{x^5}.ln2.5x^4+2^{2x^4}.ln2.8x^3-3.2^{4x^3}.ln2.12x^2=(5x^4.2^{x^5}+8x^3.2^{2x^4}-36x^2.2^{4x^3})ln2$
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=0$ và $x=2$
Xét trên $3$ khoảng $(-\infty;0);(0;2);(2;+\infty)$
$f'(x)$ dương trên $(2;+\infty)$ và âm trên $2$ khoảng còn lại
$\Rightarrow f(x)$ đạt GTNN khi và chỉ khi $x=2$
$\Rightarrow f(x)\geqslant f(2)=0$
$\Rightarrow$ pt đã cho có nghiệm duy nhất $x=2$
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 16-03-2014 - 10:16
GPT: $2^{x^{5}}+4^{x^{4}}+256^{4}=3.16^{x^{3}}$
Lời giải :
Nếu $x<0$ thì $3.16^{x^3}<1$, trong khi $256^4>1$, phương trình vô nghiệm. Xét $x$ không âm.
Theo BĐT $AM-GM$ :
$$2^{x^5}+4^{x^4}+256^4\geq 3\sqrt[3]{2^{x^5}.4^{x^4}.256^4}=3\sqrt[3]{2^{x^5+2x^4+32}}\geq 3\sqrt[3]{2^{3\sqrt[3]{x^5.2x^4.32}}}=3\sqrt[3]{2^{12.x^3}}=3.16^{x^3}$$
Dấu bằng phải xảy ra khi và chỉ khi $$\left\{\begin{matrix} 2^{x^5}=4^{x^4}=256^4\\ x^5=2x^4=32 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2$$
Nghiệm của phương trình là $x=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 16-03-2014 - 14:55
- Yagami Raito, DarkBlood, ranna và 2 người khác yêu thích
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
#4
Đã gửi 16-03-2014 - 11:40
Lời giải :
Theo BĐT $AM-GM$ :
$$2^{x^5}+4^{x^4}+256^4\geq 3\sqrt[3]{2^{x^5}.4^{x^4}.256^4}=3\sqrt[3]{2^{x^5+2x^4+32}}\geq 3\sqrt[3]{2^{3\sqrt[3]{x^5.2x^4.32}}}=3\sqrt[3]{2^{12.x^3}}=3.16^{x^3}$$
Dấu bằng phải xảy ra khi và chỉ khi $$\left\{\begin{matrix} 2^{x^5}=4^{x^4}=256^4\\ x^5=2x^4=32 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2$$
Nghiệm của phương trình là $x=2$
x>0 không chú?
- Yagami Raito, Juliel và shinichigl thích
ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..
#5
Đã gửi 16-03-2014 - 14:55
x>0 không chú?
Đã sửa. Tks anh !
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh