Chủ đề này có 2 trả lời

[Vu Thuy Linh]

Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng

$\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}$

[buitudong1998]

Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng

$\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}$

Chuẩn hóa $ab+bc+ca=3$ ta CM: $(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 8$

BĐT trên đúng vì $(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\geqslant 8$

[lahantaithe99]

Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng

$\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}$

BĐT cần chứng minh tương đương

 

$\frac{(ab+bc+ac)^3}{27}\leqslant \frac{[(a+b)(b+c)(c+a)]^2}{64}$

 

Ta có bđt quen thuộc

 

$(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)$

 

$\Rightarrow \frac{[(a+b)(b+c)(c+a)]^2}{64}\geqslant \frac{(a+b+c)^2(ab+bc+ac)^2}{81}$

 

Giờ cần cm $\frac{(a+b+c)^2(ab+bc+ac)^2}{81}\geqslant \frac{(ab+bc+ac)^3}{27}$

 

$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{81}\geqslant \frac{ab+bc+ac}{27}\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geqslant 3(ab+bc+ac)$

 

(bdt này luôn đúng)

 

Vậy ta có đpcm