Chủ đề này có 7 trả lời

[buitudong1998]

Tìm các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x^{2}f(x)+f(y))=(f(x))^{3}+y$

[ILoveMathverymuch]

Tìm các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x^{2}f(x)+f(y))=(f(x))^{3}+y$

Thay x=0 suy ra f là 1 toàn ánh nên tồn tại a sao cho f(a)=0

Thay x=a thì suy ra f(f(y))=y

Thay f(y) =y (do toàn ánh) thì có được f(y)=y suy ra f(x)=x

Mình không chắc lắm lập luận cuối,bạn xem thử.

[hoangtubatu955]

Thay x=0 suy ra f là 1 toàn ánh nên tồn tại a sao cho f(a)=0

Thay x=a thì suy ra f(f(y))=y

Thay f(y) =y (do toàn ánh) thì có được f(y)=y suy ra f(x)=x

Mình không chắc lắm lập luận cuối,bạn xem thử.

Đoạn này sai bạn ạ, khi thay $f(y)=y$ thì $y$ vế phải không còn dữ nguyên giá trị của $y$ như trước nữa.
Có thể giải thích cách khác là $f(y)$ phụ thuộc vào $y$ nên $f(y)$ thay đổi buộc lòng $y$ phải thay đổi.

[tranquocluat_ht]

Đoạn này sai bạn ạ, khi thay $f(y)=y$ thì $y$ vế phải không còn dữ nguyên giá trị của $y$ như trước nữa.
Có thể giải thích cách khác là $f(y)$ phụ thuộc vào $y$ nên $f(y)$ thay đổi buộc lòng $y$ phải thay đổi.

 

Bài này chắc là phải đưa về cộng tính.

[hoangtubatu955]

Bài này chắc là phải đưa về cộng tính.

Sử dụng tính chất toàn ánh cho ta đươc $f(f(y))=y$. Từ đây, thế $x$ bởi $f(x)$.
chú ý rằng: $f$ song ánh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 10-04-2014 - 19:06

[Juliel]

Tìm các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x^{2}f(x)+f(y))=(f(x))^{3}+y\;\;\;(1)$

Trong $(1)$ cho $x=0$ ta được $$f(f(y))=f^3(0)+y\;\;\;(*)$$

Từ đây suy ra $f$ là song ánh.

Do $f$ song ánh nên $\exists a\in \mathbb{R}:f(a)=0$

Trong $(1)$ cho $x=y=a$ ta được $$f(a^2f(a)+f(a))=f^3(a)+a\Leftrightarrow f(0)=a\Rightarrow f(f(0))=f(a)=0$$

Mặt khác trong $(*)$ cho $y=0$ thì được $f(f(0))=f^3(0)$

Từ hai kết quả trên ta thu được $f(0)=0$

Trong $(1)$ cho $y=0$ được $$f(x^2f(x))=f^3(x),\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Vì $f(0)=0$ nên từ $(*)$ lại có $$f(f(y))=y,\;\forall y\in \mathbb{R}$$

Dẫn đến phương trình hàm :

$$f(x^2f(x)+f(y))=f(x^2f(x))+f(f(y)),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x+y)=f(x)+f(y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Do $f$ liên tục nên $f(x)=x,\;\forall x\in \mathbb{R}$

[ILoveMathverymuch]

Đoạn này sai bạn ạ, khi thay $f(y)=y$ thì $y$ vế phải không còn dữ nguyên giá trị của $y$ như trước nữa.
Có thể giải thích cách khác là $f(y)$ phụ thuộc vào $y$ nên $f(y)$ thay đổi buộc lòng $y$ phải thay đổi.

 

mình nghĩ theo tính chất của toàn ánh thì ta thay f(y)=y cũng được mà..

[thukilop]

mình nghĩ theo tính chất của toàn ánh thì ta thay f(y)=y cũng được mà..

 Không đúng đâu bạn... Khi f toàn ánh thì có lợi ích là f(f(x)) cũng được xem như la f(x), VD: $f( f(x)+2))= 3f(x)+2$ thì mình có thể xem f(x) là x, nhưng nếu có biến x nữa vô thì hok, chẳng hạn f(f(x)+2))= 3f(x)+2+x thì ko được nữa.. Ở bài bạn là $f(f(x))=x$ thì hok thể suy ra được $f(x)=x$. Nếu nó là $f(f(x))=f(x)$ thì mới được suy ra $f(x)=x$

p/s: có thể tham khảo cách dùng toàn ánh để hiểu ý mình nói hơn trong 1 bài dự tuyển IMO 2002 ( có trong cuốn pt hàm của Nguyễn Trọng Tuấn trang 74)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 11-04-2014 - 12:52