Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi HSG lớp 11 tỉnh Lạng Sơn năm học 2013 - 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Câu 1 (4 điểm)


Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=1-\frac{2xy}{x+y}\\ \sqrt{x+y}+y=x^2\end{matrix}\right.$$

Câu 2 (4 điểm)

 Giải phương trình

$$1 + \sin\frac{x}{2}\sin{x} - \cos\frac{x}{2}\sin^2x=2\cos^2\left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)$$

Câu 3 (4 điểm)

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi:

$$\left\{\begin{matrix}x_1&=&1\\ x_{n+1}&=&x_n(1+x_n^{2014}), \forall n \in \mathbb{N}\end{matrix}\right.$$

Tìm $\lim \left( \frac{x_1^{2014}}{x_2}+\frac{x_2^{2014}}{x_3}+...+ \frac{x_n^{2014}}{x_{n+1}}\right)$$

Câu 4 (4 điểm)

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Gọi $G,G'$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $A'B'C'$. Chứng minh rằng các mặt phẳng $(ABC'),(BCA')$ và $(CAB')$ có một điểm chung $O$ trên đoạn $GG'$. Tính $\frac{OG}{OG'}$.

 

Câu 5 (4 điểm)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^5}{a^4+b^4} +\frac{b^5}{b^4+c^4}+\frac{c^5}{c^4+a^4}  + \frac{1}{2} \left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c} \right) \geq a+b+c$$

--- Hết ---


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
nhjm nhung

nhjm nhung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

 

Câu 3 (4 điểm)

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi:

$$\left\{\begin{matrix}x_1&=&1\\ x_{n+1}&=&x_n(1+x_n^{2014}), \forall n \in \mathbb{N}\end{matrix}\right.$$

Tìm $\lim \left( \frac{x_1^{2014}}{x_2}+\frac{x_2^{2014}}{x_3}+...+ \frac{x_n^{2014}}{x_{n+1}}\right)$$

 

$x_{n+1}-x_n=x_n^{2015}$ $\Rightarrow x_{n}$ là dãy tăng

Giả sử $x_{n}$ có giới hạn trên => tồn tại $lim x_{n}=L (L>1)$

Chuyển qua giới hạn, ta có: $L=L(1+L^{2014})$ => L=0 ( vô lí)

$\Rightarrow lim x_n =$ + vô cực

$x_{n+1}-x_n =x_n^{2015}$

$\Rightarrow \frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{x_n^{2014}}{x_{n+1}}$$\Rightarrow lim \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k^{2014}}{x_{k+1}}=lim (\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_{n+1}})=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhjm nhung: 18-03-2014 - 14:31


#3
khong la gi ca

khong la gi ca

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

Câu 5 (4 điểm)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^5}{a^4+b^4} +\frac{b^5}{b^4+c^4}+\frac{c^5}{c^4+a^4}  + \frac{1}{2} \left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c} \right) \geq a+b+c$$

 

Đầu tiên ta sẽ chứng minh

$$ \frac{a^5}{a^4+b^4}  + \frac{1}{2} \frac{b^2}{a} \geq a $$

Thật vậy, bđt trên tương đương với

$$ 2a^6 + a^4b^2 + b^6 \geq 2a^6 + 2a^2b^4 $$

hay

$$ \left ( a^2b - b^3 \right )^2 \geq 0 $$

Tương tự ta có

$$ \frac{b^5}{b^4+c^4}  + \frac{1}{2} \frac{c^2}{b} \geq b $$

$$ \frac{c^5}{c^4+a^4}  + \frac{1}{2} \frac{a^2}{c} \geq c $$

Từ đó suy ra đpcm.


"The Universe appears to be flawed.

If things exist because they ought to,

why are they not much better than they are?"


#4
Vu Van Quy

Vu Van Quy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết

 

Câu 1 (4 điểm)


Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=1-\frac{2xy}{x+y}\\ \sqrt{x+y}+y=x^2\end{matrix}\right.$$

 

ĐK...

PT 1$\Leftrightarrow (x-y)^2-1=2xy-\frac{2xy}{x+y}$

$\Leftrightarrow (x+y-1)(x+y+1)=\frac{2xy(x+y-1)}{x+y}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+y-1 & \\ x^2+y^2+x+y=0 (*) & \end{bmatrix}$

Tất nhiên (*) sẽ loại vì $\left\{\begin{matrix} x\neq 0 & \\ y\neq 0 & \end{matrix}\right.$

Thay trường hợp còn lại vào tgif quay về giải PT $1+1-x=x^2\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1 & \\ x=-2 & \end{bmatrix}$

Hệ có nghiệm $(x;y)=(1;0);(x;y)=(-2;-3)$


 ----Hải Dương thì rất là dầu---

Con Trai Con Gái Không Đâu Đẹp Bằng


#5
Vu Van Quy

Vu Van Quy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết

 

Câu 2 (4 điểm)

 Giải phương trình

$$1 + \sin\frac{x}{2}\sin{x} - \cos\frac{x}{2}\sin^2x=2\cos^2\left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)$$

 

$PT\Leftrightarrow 1+sin\frac{x}{2}sinx-cos\frac{x}{2}sin^2x=1+sinx$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} sinx=0 & \\ sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}sinx=1 (*) & \end{bmatrix}$

Giải (*)$\Leftrightarrow 2sin\frac{x}{2}^3-sin\frac{x}{2}-1=0$

$\Leftrightarrow sin\frac{x}{2}=1$

Vậy nghiêm của Pt đã cho $x=\pi +k4\pi ;x=k\pi$ với $k\epsilon \mathbb{Z}$


 ----Hải Dương thì rất là dầu---

Con Trai Con Gái Không Đâu Đẹp Bằng


#6
badatmath

badatmath

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

 

Câu 1 (4 điểm)


Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=1-\frac{2xy}{x+y}\\ \sqrt{x+y}+y=x^2\end{matrix}\right.$$

 

 

Đk: $x+y> 0$
Ta đặt $S=x+y$ ; $P=xy$ $(S>0, P\neq 0)$
Lúc đó hệ phương trình được viết lại 
$\left\{\begin{matrix} S^2-2P=1-\frac{2P}{S}(1)\\ \sqrt{S}+y=x^2 (2) \end{matrix}\right.$
$(1)\Leftrightarrow S^3-2PS=S-2P$
$\Leftrightarrow (S-1)(S^2+S-2P)=0$
Mà $S^2+S-2P \geq 2P+S-2P=S> 0$ (Théo bất đẳng thức $AM-GM$)
Nên $S=1$
Với giá trị $S=1$ và $y=1-x$ thế vào $(2)$, ta sẽ tìm được nghiêm $(x;y)$ là $(1;0)$ và $(-2;3)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badatmath: 18-03-2014 - 19:00

:icon12: Hãy xem những vấn đề trong cuộc sống như là một bài toán cực trị :Ta phải tìm được được một cách làm ngắn nhất sao cho tỉ lệ đạt được thành công là Max còn tỉ lệ thất bại là Min :icon12:


#7
Syccys

Syccys

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
S^2 >= 4P Chứ ko phải 2P đâu.nhầm ùi

#8
ngohoa0411

ngohoa0411

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

ĐK...

PT 1$\Leftrightarrow (x-y)^2-1=2xy-\frac{2xy}{x+y}$

$\Leftrightarrow (x+y-1)(x+y+1)=\frac{2xy(x+y-1)}{x+y}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+y-1 & \\ x^2+y^2+x+y=0 (*) & \end{bmatrix}$

Tất nhiên (*) sẽ loại vì $\left\{\begin{matrix} x\neq 0 & \\ y\neq 0 & \end{matrix}\right.$

Thay trường hợp còn lại vào tgif quay về giải PT $1+1-x=x^2\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1 & \\ x=-2 & \end{bmatrix}$

Hệ có nghiệm $(x;y)=(1;0);(x;y)=(-2;-3)$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+y-1 & \\ x^2+y^2+x+y=0 (*) & \end{bmatrix}$

Tất nhiên (*) sẽ loại vì $\left\{\begin{matrix} x\neq 0 & \\ y\neq 0 & \end{matrix}\right.$

lý j vậy khi x=-1 và y=-1

'' muốn loại TH nay thi cần kết hợp với pt2 và đk x+y>=0 ''


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngohoa0411: 26-10-2014 - 07:53


#9
binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết

Cách khác cho câu 5.Ta có:

$\frac{a^5}{a^4+b^4}=\frac{a(a^4+b^4-b^4)}{a^4+b^4}=a-\frac{b^2}{a}.\frac{a^2.b^2}{a^4+b^4}\geq a-\frac{b^2}{2a}$
Tương tự:
$\frac{b^5}{b^4+c^4}\geq b-\frac{c^2}{2b},\frac{c^5}{c^4+a^4}\geq c-\frac{a^2}{2c}$
Cộng vế theo vế ta thu được đpcm

Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh