Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm min $\sum \frac{yz}{x^{2}+3yz}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
motdaica

motdaica

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{yz}{x^{2}+3yz}+\frac{xz}{y^{2}+3xz}+\frac{xy}{z^{2}+3xy}$



#2
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{yz}{x^{2}+3yz}+\frac{xz}{y^{2}+3xz}+\frac{xy}{z^{2}+3xy}$

Hình như phải là tìm max

 

Đặt $M=\sum \frac{yz}{x^2+3yz}\Rightarrow 3M=\sum \frac{3yz}{x^2+3yz}$

 

$=\sum (1-\frac{x^2}{x^2+3yz})=3-\sum \frac{x^2}{x^2+3yz}$

 

Áp dụng bđt BCS cộng mẫu và $xy+yz+xz\leqslant \frac{(x+y+z)^2}{3}$

 

$\sum \frac{x^2}{x^2+3yz}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+xy+yz+xz}\geqslant \frac{3(x+y+z)^2}{4(x+y+z)^2}=\frac{3}{4}$

 

$\Rightarrow 3M\leqslant \frac{9}{4}\Rightarrow M\leqslant \frac{3}{4}$



#3
buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết

Tìm giá trị nhỏ nhất của A= $\frac{yz}{x^{2}+3yz}+\frac{xz}{y^{2}+3xz}+\frac{xy}{z^{2}+3xy}$

Chuẩn hóa $ab+bc+ca=3$

Đặt $ab=x;bc=y;ca=z\Rightarrow x+y+z=3$

A khi đó trở thành :$\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+bc}\geq \sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\frac{(b+c)^{2}}{4}}=\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\frac{(3-a)^{2}}{4}}$

Ta đi c/m:

$\frac{a^{2}}{3a^{2}+\frac{(3-a)^{2}}{4}}\geq \frac{3}{16}(a-1)+\frac{1}{4}$

đến đây BĐTĐ


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#4
mbrandm

mbrandm

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

Chuẩn hóa $ab+bc+ca=3$

Đặt $ab=x;bc=y;ca=z\Rightarrow x+y+z=3$

A khi đó trở thành :$\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+bc}\geq \sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\frac{(b+c)^{2}}{4}}=\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\frac{(3-a)^{2}}{4}}$

Ta đi c/m:

$\frac{a^{2}}{3a^{2}+\frac{(3-a)^{2}}{4}}\geq \frac{3}{16}(a-1)+\frac{1}{4}$

đến đây BĐTĐ

tới đó rồi sao nữa bạn? Mình cũng nghĩ là max: 

$A\leq \sum \frac{yx}{16}\left ( \frac{9}{x^{2}+2yz} +\frac{1}{yz}\right )= \sum \frac{9yz}{16\left ( x^{2} +2yz\right )}+\frac{3}{16}$

 Lại có : $\sum \frac{yz}{x^{2}+2yz}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}}{x^{2}+2yz}\geq 1$

Suy ra $A\leq \frac{3}{4}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh