Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{yz}{x^{2}+3yz}+\frac{xz}{y^{2}+3xz}+\frac{xy}{z^{2}+3xy}$
Tìm min $\sum \frac{yz}{x^{2}+3yz}$
#1
Đã gửi 18-03-2014 - 17:13
#2
Đã gửi 18-03-2014 - 17:41
Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{yz}{x^{2}+3yz}+\frac{xz}{y^{2}+3xz}+\frac{xy}{z^{2}+3xy}$
Hình như phải là tìm max
Đặt $M=\sum \frac{yz}{x^2+3yz}\Rightarrow 3M=\sum \frac{3yz}{x^2+3yz}$
$=\sum (1-\frac{x^2}{x^2+3yz})=3-\sum \frac{x^2}{x^2+3yz}$
Áp dụng bđt BCS cộng mẫu và $xy+yz+xz\leqslant \frac{(x+y+z)^2}{3}$
$\sum \frac{x^2}{x^2+3yz}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+xy+yz+xz}\geqslant \frac{3(x+y+z)^2}{4(x+y+z)^2}=\frac{3}{4}$
$\Rightarrow 3M\leqslant \frac{9}{4}\Rightarrow M\leqslant \frac{3}{4}$
- motdaica, Hoang Tung 126 và Silent Night thích
#3
Đã gửi 18-03-2014 - 17:47
Tìm giá trị nhỏ nhất của A= $\frac{yz}{x^{2}+3yz}+\frac{xz}{y^{2}+3xz}+\frac{xy}{z^{2}+3xy}$
Chuẩn hóa $ab+bc+ca=3$
Đặt $ab=x;bc=y;ca=z\Rightarrow x+y+z=3$
A khi đó trở thành :$\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+bc}\geq \sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\frac{(b+c)^{2}}{4}}=\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\frac{(3-a)^{2}}{4}}$
Ta đi c/m:
$\frac{a^{2}}{3a^{2}+\frac{(3-a)^{2}}{4}}\geq \frac{3}{16}(a-1)+\frac{1}{4}$
đến đây BĐTĐ
- thanhducmath và Hoang Tung 126 thích
Chuyên Vĩnh Phúc
#4
Đã gửi 18-03-2014 - 17:55
Chuẩn hóa $ab+bc+ca=3$
Đặt $ab=x;bc=y;ca=z\Rightarrow x+y+z=3$
A khi đó trở thành :$\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+bc}\geq \sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\frac{(b+c)^{2}}{4}}=\sum \frac{a^{2}}{3a^{2}+\frac{(3-a)^{2}}{4}}$
Ta đi c/m:
$\frac{a^{2}}{3a^{2}+\frac{(3-a)^{2}}{4}}\geq \frac{3}{16}(a-1)+\frac{1}{4}$
đến đây BĐTĐ
tới đó rồi sao nữa bạn? Mình cũng nghĩ là max:
$A\leq \sum \frac{yx}{16}\left ( \frac{9}{x^{2}+2yz} +\frac{1}{yz}\right )= \sum \frac{9yz}{16\left ( x^{2} +2yz\right )}+\frac{3}{16}$
Lại có : $\sum \frac{yz}{x^{2}+2yz}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}}{x^{2}+2yz}\geq 1$
Suy ra $A\leq \frac{3}{4}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh