Chủ đề này có 5 trả lời

[Vu Thuy Linh]

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh:

A = $a.(\frac{1}{3a+b}+\frac{1}{3a+c}+\frac{2}{2a+b+c})+\frac{b}{3a+c}+\frac{c}{3a+b}< 2$

[Nguyen Duc Thuan]

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh:

A = $a.(\frac{1}{3a+b}+\frac{1}{3a+c}+\frac{2}{2a+b+c})+\frac{b}{3a+c}+\frac{c}{3a+b}< 2$

Giả sử $a\geq b\geq c$

$\Rightarrow A\leq a.\frac{4}{2a+b+c}+\frac{b}{2a+b+c}+\frac{c}{2a+b+c}=\frac{4a+b+c}{2a+b+c}<2$

(đpcm)

[Trang Luong]

Giả sử $a\geq b\geq c$

$\Rightarrow A\leq a.\frac{4}{2a+b+c}+\frac{b}{2a+b+c}+\frac{c}{2a+b+c}=\frac{4a+b+c}{2a+b+c}<2$

(đpcm)

Đây chỉ là 1 chiều, chưa tổng quát

[Vu Thuy Linh]

Đây chỉ là 1 chiều, chưa tổng quát

1 chiều nghĩa là sao?

[Trang Luong]

1 chiều nghĩa là sao?

nghia là $a,b,c$ k đối xứng đổi chỗ đc cho nhau. Nên k giả sử như thế đc

[Trang Luong]

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh:

A = $a.(\frac{1}{3a+b}+\frac{1}{3a+c}+\frac{2}{2a+b+c})+\frac{b}{3a+c}+\frac{c}{3a+b}< 2$

Ta có nhận xét:Nếu $0< a\leq b$ và $0\leq c$ thì $\frac{a}{b}\leq \frac{a+c}{b+c}$. BĐT này tương đương với $c(a-b)\leq 0$ (đúng)

Trở lại bài toán. Dễ dàng cm được cả 3 số đều nhỏ hơn $1$. Áp dụng nhận xét trên, ta có $VT< \frac{a+c+c}{3a+b+c}+\frac{a+b+b}{3a+c+b}+\frac{2a+a}{2a+b+c+a}=\frac{5a+2b+2c}{3a+b+c}< \frac{6a+2b+2c}{3a+b+c}=2$ (đpcm)