Cho x+y+z=0. CMR: $2(x^{5}+y^{5}+z^{5})= 5xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
Cho x+y+z=0. CMR: $2(x^{5}+y^{5}+z^{5})= 5xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
Bắt đầu bởi studentlovemath, 19-03-2014 - 21:35
#1
Đã gửi 19-03-2014 - 21:35
studentlovemath
-
- Thành viên
-
- 164 Bài viết
Trung sĩ
Làm việc đừng quá trông đợi vào kết quả, nhưng hãy mong cho mình làm được hết sức mình
#2
Đã gửi 19-03-2014 - 22:33
huythcsminhtan
-
- Thành viên
-
- 96 Bài viết
Hạ sĩ
Ta có :
$x+y+z=0$
$x+y=-z$
$(x+y)^5=-z^5$
$x^5+y^5+5xy(x+y)(x^2+xy+y^2)=-z^5$
$x^5+y^5+z^5-5xyz(x^2+y^2+xy)=0$
$x^5+y^5+z^5=5xyz(x^2+y^2+xy)$
$2(x^5+y^5+z^5)=5xyz[x^2+y^2+(x^2+2xy+y^2)]$
$2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2++z^2)$
$\bigstar$ Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có $\bigstar$
$\bigstar$ Perfect numbers like perfect men are very rare. $\bigstar$
____ Rene Descartes ____
#3
Đã gửi 19-03-2014 - 22:39
ranna
-
- Thành viên
-
- 15 Bài viết
Binh nhì
$x+y+z=0$ $\Rightarrow -x=y+z \Rightarrow -x^5=(y+z)^5 \Rightarrow y^5+5y^4z+10y^3z^2+10y^2z^3+5yz^4+z^5=-x^5 \Rightarrow (x^5+y^5+z^5)+5xyz(y^3+z^3+2z^2y+2y^2z)=0 \Rightarrow (x^5+y^5+z^5)+5yz(y+z)(y^2+yz+z^2)=0 \Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)-5xyz((y+z)^2+y^2+z^2)=0 \Rightarrow 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^)$
#4
Đã gửi 21-03-2014 - 11:03
bacninhquehuongtoi
-
- Thành viên
-
- 22 Bài viết
Binh nhất
Cho x+y+z=0. CMR: $2(x^{5}+y^{5}+z^{5})= 5xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
Do x+y+z=0 nên $x^{3}+y^{3}+z^{3}= 3xyz$
nên $x^{5}+y^{5}+z^{5}= \left ( x^{3}+y^{3} +z^{3}\right )(x^{2}+y^{2}+z^{2})-x^{2}y^{2}\left ( x+y \right )-y^{2}z^{2}\left ( y+z \right )-x^{2}z^{2}\left ( x+z \right )= 3xyz\left ( x^{2} +y^{2}+z^{2}\right )+xyz\left ( xy+yz+xz \right )$
$2\left (x^{5}+y^{5}+z^{5} \right )(do $x+y+z=0 \rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=-2xy-2yz-2xz$)= 5xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bacninhquehuongtoi: 21-03-2014 - 20:43
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
