Đến nội dung

Hình ảnh

f(x+1) = f(x)+1 và $f(x^{3}) = f^{3}(x)$ mọi x thuộc Q+

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ZzZzZzZzZ

ZzZzZzZzZ

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

tìm hàm số f Q+ ------> R+

 

f(x+1) = f(x)+1 và $f(x^{3}) = f^{3}(x)$ mọi x thuộc Q+



#2
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

tìm hàm số f Q+ ------> R+

 

f(x+1) = f(x)+1 và $f(x^{3}) = f^{3}(x)$ mọi x thuộc Q+

Từ $(1)$ bằng quy nạp ta có $f(x+n)=f(x)+n,\;\forall n\in \mathbb{N}$

Ta có :

$f((x+n)^3)=f^3(x+n)=(f(x)+n)^3=f^3(x)+3f^2(x)n+3f(x)n^2+n^3,\;\forall x\in \mathbb{Q}^+,n\in \mathbb{N}$

$f((x+n)^3)=f(x^3+3x^2n+3xn^2+n^3)=f(x^3+3x^2n+3xn^2)+n^3,\;\forall x\in \mathbb{Q}^+,n\in \mathbb{N}$

Từ hai điều trên ta suy ra :

$f(x^3+3x^2n+3xn^2)=f^3(x)+3f^2(x)n+3f(x)n^2$

Thay $x=\dfrac{p}{q}\in \mathbb{Q},n=q^{2}\in \mathbb{N}$, ta được :

$f\left ( \left ( \dfrac{p}{q} \right )^3+3.\left ( \frac{p}{q} \right )^2.q^2+3.\dfrac{p}{q}.q^4 \right )=f^{3}\left ( \dfrac{p}{q} \right )+3f^{2}\left ( \dfrac{p}{q} \right ).q^2+3f\left ( \dfrac{p}{q} \right )q^4\Leftrightarrow p^2+pq^3=f^{2}\left ( \dfrac{p}{q} \right )q^2+f\left ( \dfrac{p}{q} \right )q^4$

Đây là phương trình bậc hai ẩn $f\left ( \dfrac{p}{q} \right )$ có :

$\Delta =q^8+4q^2(p^2+pq^3)=q^2(q^3+2p)^2$

Nghiệm của nó là :

$f\left ( \dfrac{p}{q} \right )=\dfrac{-q^4\pm q(q^3+2p)}{2q^2}=\dfrac{-q^3\pm (p^3+2p)}{2q}$

Nếu $f\left ( \dfrac{p}{q} \right )=\dfrac{-q^3-(q^3+2p)}{2q}=\dfrac{-q^3-p}{q}\notin \mathbb{Q}^{+}$

Do đó $f\left ( \dfrac{p}{q} \right )=\dfrac{-q^3+(p^3+2p)}{2q}=\dfrac{p}{q}$

Kết luận : Hàm số cần tìm là $f(x)=x,\;\forall x\in \mathbb{Q}^{+}$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh