Đọc kỹ lời giải thích của mod THCS ở #2 (Topic vi phạm nội quy về cách đặt tiêu đề)sao bài em lại bị khoá ạ
http://diendantoanho...915-hinh-9-kho/
Góp ý cho box "Bất Đẳng thức và Cực trị"
#22
Đã gửi 17-02-2013 - 14:12
Sai tiệu đề thôi.bạn hãy sửa lại tiêu đề.sao bài em lại bị khoá ạ
http://diendantoanho...915-hinh-9-kho/
Cách đặt tiêu đề nè : http://diendantoanho...i-khong-bị-xoa/
- Anh Vinh yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#23
Đã gửi 28-04-2013 - 01:30
Nhờ mọi người giải giúp bài 2 bài này
Bài 1 Cho x,y,z > 0 cm : $\frac{x^{2}-z^{2}}{y + z} + \frac{z^{2}-y^{2}}{x + y} + \frac{y^{2}-x^{2}}{z + x} \geqslant 0$
bài 2: Cho x + y # 0, x#0 , y # 0
$x^{2} + y^{2} = xy(2x + y)$
Tìm Min, max của biểu thức:
$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$
Cảm ơn !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamdan1508: 28-04-2013 - 01:37
#24
Đã gửi 12-05-2013 - 11:03
Thực ra bạn nói cũng không chính xác lắm.Có nhiều bài bất đẳng thức đâu chỉ dùng MV mà cũng có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp như p,q,r và Shur thui.các bất đẳng thức cổ điển là đương nhiên và pp S.O.S cũng không vượt quá kiến thức THCS lắm.Kể cả dồn biến MV thì cũng có một phần lớn là với kt THCS cũng có thể hiểu và vận dùng giải BDT được đấy chứ.Chỉ như hàm lồi,lõi,karamata,Langrage,Jensen,...là chưa thể dùng nên các tv nên post nó vào box THPT nhưng lưu ý nếu dùng được các bdt cổ điển để giải thì vẫn có thể post nó vào đây.Chúng ta chỉ post để cho đúng với kiến thức và trình đọ THCS thui chứ cũng có nhiều thành viên là Sinh Viên,nữ sinh vào đây giải đó thui.Do vậy cần phải xem xét trước khi post bài ....vv.
anh ơi.ở cấp 2 chỉ mới học 3 bất đẳng thức svac.bunhia,cosi thôi anh à
#25
Đã gửi 19-05-2013 - 20:33
$\sqrt{x^{4}-^{\sqrt[3]{x2}}}}\doteq x^{2}\dotplus 2\sqrt{x}$
#26
Đã gửi 03-09-2013 - 22:23
#27
Đã gửi 19-10-2013 - 11:59
chào các bạn. Mình có 1 số vấn đề muốn hỏi. Hiện giờ có 1 ý kiến dựa vào $f(x)\leq m \forall x\Leftrightarrow Max f(x)\leq m$ để CM BDT sau: Cho x,y,z>0 x+y+z=3
P=$\frac{x^{2}}{1+y^{2}}+\frac{y^{2}}{1+z^{2}}+\frac{z^{2}}{1+x^{2}}\geq \frac{3}{2}$
Bài giải
Sử dụng BDT cauchy schwarz ta có P $\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$=f(x,y,z) $\forall$ x,y,z>0
Mà f(x,y,z)$\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}$=3/2 $\forall$ x,y,z>0
vì $P\geq f(x,y,z)\Leftrightarrow P\geq Max f(x,y,z)=3/2 hay P\geq 3/2 (đpcm)$
Bạn xem bài chứng minh này đúng không. Nếu sai mong bạn nói rõ chỗ sai dùm.
- math is life và tpdtthltvp thích
#28
Đã gửi 26-01-2014 - 08:58
nói chung dạng này còn khó
#29
Đã gửi 31-01-2014 - 14:27
E tưởng topic này hỏi đáp về BĐT và cực trị saO ở đây toàn nói về cái gì đấy
Chủ pic thử đăng mấy bài dễ cho mem làm nào
#30
Đã gửi 19-02-2014 - 01:13
các bạn thảo luận đi vào tiêu đề chính đi nhé, để cho mọi người còn xin ý kiến nha
Làm cua kinh thuy luc Tốt rẻ nhất, bán bản lề cua kinh cuong luc chính hãng, Tải cua kinh thuy luc gia bao nhieu ở đây. phụ kiện cầu thang kính đẹp và mẫu tay co thủy lực giá rẻ , cua nhua loi thep nên dùng chân nhện đỡ kính inox
#31
Đã gửi 13-07-2015 - 08:59
E tưởng topic này hỏi đáp về BĐT và cực trị saO ở đây toàn nói về cái gì đấy
Chủ pic thử đăng mấy bài dễ cho mem làm nào
bài dễ hả mình có bài này ko biết dễ hay khó đây
cho a, b, c là các số thực dương c/m:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
CHUẨN THÌ LIKE SAI THÌ SỬA
Sống là để cống hiến
#32
Đã gửi 12-10-2015 - 14:29
hôm nay mới biết tới trang này, cần sự giúp đỡ của mọi người về hình học lợp 9
#33
Đã gửi 16-11-2015 - 21:17
bài dễ hả mình có bài này ko biết dễ hay khó đây
cho a, b, c là các số thực dương c/m:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3} {2}$
bđt nesbit
- Unstopable yêu thích
#34
Đã gửi 20-08-2016 - 20:54
phương pháp giải BĐT-Cực trị
Ví dụ 1. CMR Với $a,b \in R$ và $a+b=4$ thì $a^{4}+b^{4} \geq 32$
Nhận xét rằng một biểu thức nhiều biến thường đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất khi tất cả các biến bằng nhau ( tổng quát hơn là trường hợp một số biến bằng nhau) hoặc một số biến có giá trị trên biên. Điều này gợi ý cho ta cách đổi biến như sau
Lời giải
Do $a+b=4$ nên có thể đặt $a=2+x,b=2-x$ với $x\in R$
Ta có $a^{4}+b^{4}=(2+x)^{4}+(2-x)^{4}=2x^{4}+48x^{2}+32 \geq 32$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=0 \Leftrightarrow a=b=2$.
Như vậy bằng cách đổi biến thích hợp chúng ta đã đưa bài toán về dạng đơn giản có thể đánh giá trực tiếp được và BĐT chúng ta sử dụng chỉ là BĐT cơ bản nhất $x^{2} \geq 0, \forall x\in R$
Tiếp theo chúng ta xem xét một vài ví dụ khác. Qua đó hi vọng các bạn học sinh THCS sẽ có được một cách nhìn mới với những bài toán BĐT kiểu này.
Ví dụ 2. Cho $a,b \in R$ thỏa mãn $a+b \geq 2$. CMR
$$a^{3}+b^{3} \leq a^{4}+b^{4}$$
Lời giải.
Đặt $a=1+x,b=1+y$. Từ $a+b \geq 2$ ta có $x+y \geq 0$
BĐT cần chứng minh tương đương với
$$(1+x)^{3}+(1+y)^{3} \leq (1+x)^{4}+(1+y)^{4}$$
$\Leftrightarrow x(1+x)^{3}+y(1+y)^{3} \geq0$
$\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+3(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3(x^{2}+y^{2})+x+y \geq 0$
(BĐT này đúng vì $x+y \geq 0$)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$$ x=y=0 \Leftrightarrow a=b=1$$.
Ví dụ 3. Cho $a,b,c\in R$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca \geq 6$$
Lời giải.
Vì $a+b+c=3$ nên có thể đặt $a=1+x ,b=1+y, c=1-x-y$ với $x,y \in R$
Ta có
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca=(1+x)^{2}+(1+y)^{2}+(1-x-y)^{2}+$$
$$+(1-x)(1-y)+(1-y)(1-x-y)+(1-x-y)(1-x)$$
$$=x^{2}+xy+y^{2}+6=(x+\dfrac{y}{2})^{2}+\dfrac{3y^{2}}{4}+6\geq 6$$
Đó là đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$ y=0,x+\dfrac{y}{2}=0 \Leftrightarrow a=b=c=1$$
Ví dụ 4. Cho $a,b,c,d\in R$ thỏa mãn $a+b+c+d=1$. CMR
$$(a+c)(b+d)+2ac+2bd \leq \dfrac{1}{2}$$
Lời giải.
Vì $a+b+c+d=1$ nên có thể đặt
$$a=\dfrac{1}{4}+x+z , b= \dfrac{1}{4}-x+z ,c=\dfrac{1}{4}+y-z ,d= \dfrac{1}{4}-y-z $$
Ta có
$VT=(a+c)(b+d)+2ac+2bd$
$ =(\dfrac{1}{2}+x+y)(\dfrac{1}{2}-x-y)+2(\dfrac{1}{4}+x+z)(\dfrac{1}{4}+y-z)+2(\dfrac{1}{4}-x+z)(\dfrac{1}{4}-y-z)$
$= \dfrac{1}{2}-(x-y)^{2}-4z^{2} \leq \dfrac{1}{2}$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$ x-y=0,z=0 \Leftrightarrow a=c ,b=d$$
Ví dụ 5. Cho $a,b,c,d\in R$ thỏa mãn $a+b=c+d$. CMR
$$c^{2}+d^{2}+cd \geq 3ab$$
Lời giải.
Do $a+b=c+d$ nên ta đặt $c=a+x , d=b-x$ với $x\in R$
Ta có
$$c^{2}+d^{2}+cd =(a+x)^{2}+(b-x)^{2}+(a+x)(b-x)=(a-b+\dfrac{x}{2})^{2}+\dfrac{3x^{2}}{4}+3ab\geq 3ab$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$a-b+\dfrac{x}{2}=x=0 \Leftrightarrow a=b=c=d$$
Ví dụ 6. Cho $x,y\in R,x<2$ và $x+y>5$. CMR
$$5x^{2}+2y^{2}+8y>62$$
Lời giải.
Vì $x<2,x+y>5$ nên ta đặt $x=2- t , x+y=5+u$ ($t,u >0$)
$$5x^{2}+2y^{2}+8y=5(2-t)^{2}+2(3+t+u)^{2}+8(3+t+u)=62+2(t+u)^{2}+5t^{2}+20u>62$$
Ta có đpcm
Ví dụ 7. Cho$ x,y\in R ,x \leq 1 ,x+y \geq 3$. Tìm GTNN của $F= 3x^{2}+y^{2}+3xy$
Lời giải.
Đặt $x=1-a, x+y =3+b$ thì $y=2+a+b;a,b \geq 0 $
Ta có
$3x^{2}+y^{2}+3xy=3(1-a)^{2}+(2+a+b)^{2}+3(1-a)(2+a+b)$
$=a^{2}+b^{2}-5a+7b-ab+13$
$=(a-\dfrac{b}{2}-\dfrac{5}{2})^{2}+\dfrac{3b^{2}}{4}+\dfrac{9b}{2}+\dfrac{27}{4} \geq \dfrac{27}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$$ a=\dfrac{5}{2},b=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-3}{2},y=\dfrac{9}{2}$$
Ví dụ 8 Cho $x,y \in R,x+y=3 ,x \leq 1$. CMR
$$y^{3}-x^{3}-6y^{2}-x^{2}+9y \geq 0$$
Lời giải.
Đặt $x=1-w$ thì $y=2+w$($w \geq 0$)
$$y^{3}-x^{3}-6y^{2}-x^{2}+9y\geq0 \Leftrightarrow (2+w)^{3}-(1-w)^{3}-6(2+w)^{2}-(1-w)^{2}+9(2+w) \geq0 $$
$\Leftrightarrow w(w-1)^{2} \geq 0$ (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$ w \in$ \{0;1\} \Leftrightarrow (x;y)\in \{(1;2),(0;3)\}$$
Lời kết. Như vậy với việc đổi biển khéo léo ta có thể đưa việc xét một biểu thức phức tạp về một biểu thức đơn giản hơn,phù hợp với trình độ THCS. Những VD trên là đơn giản (không có VD nào có thể coi là khó!)và những lời giải trên là để minh họa cho kĩ thuật nên có thể chưa phải là Lời giải hay nhất,ngắn gọn nhất. Tác giả cho rằng việc đưa ra quá nhiều VD sẽ chỉ nhàm chán và vô vị ,vì vậy chỉ đưa ra vài VD đơn giản để bạn đọc có thể nắm bắt được ý tưởng nhanh chóng. Khi đã nắm bắt được ý tưởng ,bạn hoàn toàn có thể ''đánh bay'' một lớp các bài toán như vậy và đương nhiên bạn cũng có thể tự tạo ra các bài toán kiểu này. Dưới đây cũng là những BT đơn giản để các bạn thử nghiệm!
BT áp dụng.
Bài 1. Cho $a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$
Bài 2.Cho $x,y\in R, x+y=3,x \leq 1$.CM
a)$x^{3}+y^{3} \geq 9$
b)$2x^{4}+y^{4} \geq 18$
Bài 3.Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y=1$
Tìm GTNN của $P= \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{3}{4xy}$
Bài 4 Cho $a,b \in R,a+b>8 ,b>3$
CMR $27a^{2}+10b^{3}>945$
- tpdtthltvp yêu thích
#35
Đã gửi 21-04-2017 - 23:39
phương pháp giải BĐT-Cực trị
Ví dụ 1. CMR Với $a,b \in R$ và $a+b=4$ thì $a^{4}+b^{4} \geq 32$
Nhận xét rằng một biểu thức nhiều biến thường đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất khi tất cả các biến bằng nhau ( tổng quát hơn là trường hợp một số biến bằng nhau) hoặc một số biến có giá trị trên biên. Điều này gợi ý cho ta cách đổi biến như sau
Lời giải
Do $a+b=4$ nên có thể đặt $a=2+x,b=2-x$ với $x\in R$
Ta có $a^{4}+b^{4}=(2+x)^{4}+(2-x)^{4}=2x^{4}+48x^{2}+32 \geq 32$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=0 \Leftrightarrow a=b=2$.
Như vậy bằng cách đổi biến thích hợp chúng ta đã đưa bài toán về dạng đơn giản có thể đánh giá trực tiếp được và BĐT chúng ta sử dụng chỉ là BĐT cơ bản nhất $x^{2} \geq 0, \forall x\in R$
Tiếp theo chúng ta xem xét một vài ví dụ khác. Qua đó hi vọng các bạn học sinh THCS sẽ có được một cách nhìn mới với những bài toán BĐT kiểu này.
Ví dụ 2. Cho $a,b \in R$ thỏa mãn $a+b \geq 2$. CMR
$$a^{3}+b^{3} \leq a^{4}+b^{4}$$
Lời giải.
Đặt $a=1+x,b=1+y$. Từ $a+b \geq 2$ ta có $x+y \geq 0$
BĐT cần chứng minh tương đương với
$$(1+x)^{3}+(1+y)^{3} \leq (1+x)^{4}+(1+y)^{4}$$
$\Leftrightarrow x(1+x)^{3}+y(1+y)^{3} \geq0$
$\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+3(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3(x^{2}+y^{2})+x+y \geq 0$
(BĐT này đúng vì $x+y \geq 0$)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$$ x=y=0 \Leftrightarrow a=b=1$$.
Ví dụ 3. Cho $a,b,c\in R$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca \geq 6$$
Lời giải.
Vì $a+b+c=3$ nên có thể đặt $a=1+x ,b=1+y, c=1-x-y$ với $x,y \in R$
Ta có
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca=(1+x)^{2}+(1+y)^{2}+(1-x-y)^{2}+$$
$$+(1-x)(1-y)+(1-y)(1-x-y)+(1-x-y)(1-x)$$
$$=x^{2}+xy+y^{2}+6=(x+\dfrac{y}{2})^{2}+\dfrac{3y^{2}}{4}+6\geq 6$$
Đó là đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$ y=0,x+\dfrac{y}{2}=0 \Leftrightarrow a=b=c=1$$
Ví dụ 4. Cho $a,b,c,d\in R$ thỏa mãn $a+b+c+d=1$. CMR
$$(a+c)(b+d)+2ac+2bd \leq \dfrac{1}{2}$$
Lời giải.
Vì $a+b+c+d=1$ nên có thể đặt
$$a=\dfrac{1}{4}+x+z , b= \dfrac{1}{4}-x+z ,c=\dfrac{1}{4}+y-z ,d= \dfrac{1}{4}-y-z $$
Ta có
$VT=(a+c)(b+d)+2ac+2bd$
$ =(\dfrac{1}{2}+x+y)(\dfrac{1}{2}-x-y)+2(\dfrac{1}{4}+x+z)(\dfrac{1}{4}+y-z)+2(\dfrac{1}{4}-x+z)(\dfrac{1}{4}-y-z)$
$= \dfrac{1}{2}-(x-y)^{2}-4z^{2} \leq \dfrac{1}{2}$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$ x-y=0,z=0 \Leftrightarrow a=c ,b=d$$
Ví dụ 5. Cho $a,b,c,d\in R$ thỏa mãn $a+b=c+d$. CMR
$$c^{2}+d^{2}+cd \geq 3ab$$
Lời giải.
Do $a+b=c+d$ nên ta đặt $c=a+x , d=b-x$ với $x\in R$
Ta có
$$c^{2}+d^{2}+cd =(a+x)^{2}+(b-x)^{2}+(a+x)(b-x)=(a-b+\dfrac{x}{2})^{2}+\dfrac{3x^{2}}{4}+3ab\geq 3ab$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$a-b+\dfrac{x}{2}=x=0 \Leftrightarrow a=b=c=d$$
Ví dụ 6. Cho $x,y\in R,x<2$ và $x+y>5$. CMR
$$5x^{2}+2y^{2}+8y>62$$
Lời giải.
Vì $x<2,x+y>5$ nên ta đặt $x=2- t , x+y=5+u$ ($t,u >0$)
$$5x^{2}+2y^{2}+8y=5(2-t)^{2}+2(3+t+u)^{2}+8(3+t+u)=62+2(t+u)^{2}+5t^{2}+20u>62$$
Ta có đpcm
Ví dụ 7. Cho$ x,y\in R ,x \leq 1 ,x+y \geq 3$. Tìm GTNN của $F= 3x^{2}+y^{2}+3xy$
Lời giải.
Đặt $x=1-a, x+y =3+b$ thì $y=2+a+b;a,b \geq 0 $
Ta có
$3x^{2}+y^{2}+3xy=3(1-a)^{2}+(2+a+b)^{2}+3(1-a)(2+a+b)$
$=a^{2}+b^{2}-5a+7b-ab+13$
$=(a-\dfrac{b}{2}-\dfrac{5}{2})^{2}+\dfrac{3b^{2}}{4}+\dfrac{9b}{2}+\dfrac{27}{4} \geq \dfrac{27}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$$ a=\dfrac{5}{2},b=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-3}{2},y=\dfrac{9}{2}$$
Ví dụ 8 Cho $x,y \in R,x+y=3 ,x \leq 1$. CMR
$$y^{3}-x^{3}-6y^{2}-x^{2}+9y \geq 0$$
Lời giải.
Đặt $x=1-w$ thì $y=2+w$($w \geq 0$)
$$y^{3}-x^{3}-6y^{2}-x^{2}+9y\geq0 \Leftrightarrow (2+w)^{3}-(1-w)^{3}-6(2+w)^{2}-(1-w)^{2}+9(2+w) \geq0 $$
$\Leftrightarrow w(w-1)^{2} \geq 0$ (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$ w \in$ \{0;1\} \Leftrightarrow (x;y)\in \{(1;2),(0;3)\}$$
Lời kết. Như vậy với việc đổi biển khéo léo ta có thể đưa việc xét một biểu thức phức tạp về một biểu thức đơn giản hơn,phù hợp với trình độ THCS. Những VD trên là đơn giản (không có VD nào có thể coi là khó!)và những lời giải trên là để minh họa cho kĩ thuật nên có thể chưa phải là Lời giải hay nhất,ngắn gọn nhất. Tác giả cho rằng việc đưa ra quá nhiều VD sẽ chỉ nhàm chán và vô vị ,vì vậy chỉ đưa ra vài VD đơn giản để bạn đọc có thể nắm bắt được ý tưởng nhanh chóng. Khi đã nắm bắt được ý tưởng ,bạn hoàn toàn có thể ''đánh bay'' một lớp các bài toán như vậy và đương nhiên bạn cũng có thể tự tạo ra các bài toán kiểu này. Dưới đây cũng là những BT đơn giản để các bạn thử nghiệm!
BT áp dụng.
Bài 1. Cho $a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$
Bài 2.Cho $x,y\in R, x+y=3,x \leq 1$.CM
a)$x^{3}+y^{3} \geq 9$
b)$2x^{4}+y^{4} \geq 18$
Bài 3.Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y=1$
Tìm GTNN của $P= \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{3}{4xy}$
Bài 4 Cho $a,b \in R,a+b>8 ,b>3$
CMR $27a^{2}+10b^{3}>945$
Bài viết của bạn hoàn toàn trùng lặp với tài liệu phổ dụng hiên nay.
Đã là một bài viết thì phải có sự sáng tạo,tự bản thân mình sáng tạo ra để mọi người trên diễn đàn đều đc biết và học hỏi.
Trên đây là nhữg ý kiến của mình, có gì sai sót mong moị người bỏ qua cho.
- Tea Coffee yêu thích
AQ02
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh