Chủ đề này có 16 trả lời

[Trang Luong]

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

 

Câu 1:

a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+5y^2-4xy+4x-8y-12=0$

b) Cho $p(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên $x< 100$ sao cho $p(x)\vdots 11$

Câu 2

a) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$ với $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

b) Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^3=3x-1\\ y^3=3y-1\\ z^3=3z-1 \end{matrix}\right.$.

Tính $x^2+y^2+z^2$

Câu 3.

a) Giải phương trình : $3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}$

b) GHPT : $\left\{\begin{matrix} 3x^2+2y^2+x+8y-4-4xy=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{matrix}\right.$

Câu 4.

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ không đi qua tâm. Gọi $A$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Gọi nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$ và cố định, sao cho $E,F$ nằm khác phía với $A$ so với $BC$, $AF,AE$ cắt $BC$ tại $M,N$. Lấy điểm $D$ sao cho tứ giác $MNED$ là hình bình hành.

a) Chứng minh : $MNEF$ là tứ giác nội tiếp

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDF$. Chứng minh : $I$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi góc nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$.

c) Tìm min của $OI$ khi $\angle EAF=60^{\circ},BC=R$

Câu 5. Cho $x,y,z>0,x+y+z=3$ Chứng minh rằng :

 $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

P/s: Thánh nào siêu thỳ làm ngay cho mk câu hình cái. Trâu wa   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 21-03-2014 - 13:06

[Hoang Tung 126]

 

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

 

Câu 1: $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+5y^2-4xy+4x-8y-12=0$

b) Cho $p(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên $x< 100$ sao cho $p(x)\vdots 11$

Câu 2

a) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$ với $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

b) Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^3=3x-1\\ y^3=3y-1\\ z^3=3z-1 \end{matrix}\right.$.

Tính $x^2+y^2+z^2$

Câu 3.

a) Giải phương trình : $3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}$

b) GHPT : $\left\{\begin{matrix} 3x^2+2y^2+x+8y-4-4xy=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{matrix}\right.$

Câu 4.

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ không đi qua tâm. Gọi $A$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Gọi nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$ và cố định, sao cho $E,F$ nằm khác phía với $A$ so với $BC$, $AF,AE$ cắt $BC$ tại $M,N$. Lấy điểm $D$ sao cho tứ giác $MNED$ là hình bình hành.

a) Chứng minh : $MNEF$ là tứ giác nội tiếp

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDF$. Chứng minh : $I$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi góc nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$.

c) Tìm min của $OI$ khi $\angle EAF=60^{\circ},BC=R$

Câu 5. Cho $x,y,z>0,x+y+z=3$ Chứng minh rằng :

 $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

 

Bài 5:(Bài này khá hay)

 Ta có:$\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz< = > \sum \frac{(x^2+z^2)+(y^2+z^2)}{xyz(4-xy)}\geq 4$

Mà theo AM-GM có:$\sum \frac{(x^2+z^2)+(y^2+z^2)}{xyz(4-xy)}\geq \sum \frac{2xz+2yz}{xyz(4-xy)}=2\sum \frac{z(x+y)}{xyz(4-xy)}=2\sum \frac{x+y}{xy(4-xy)}=2\sum \frac{1}{y(4-xy)}+2\sum \frac{1}{x(4-xy)}\geq 2.6\sqrt[6]{\frac{1}{\left [ xyz(4-xy)(4-yz)(4-xz) \right ]^2}}=\frac{12}{\sqrt[3]{xyz(4-xy)(4-yz)(4-xz)}}=\frac{12\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3xyz(4-xy)(4-yz)(4-xz)}}$ (1) 

Theo AM-GM 4 số có:$3xyz(4-xy)(4-yz)(4-xz)\leq \frac{(3xyz+4-xy+4-yz+4-xz)^4}{256}=\frac{(12+3xyz-xy-yz-xz)^4}{256}$ (3)

Mặt khác ta có :$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{3}=3= > \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq 3= > 3xyz-xy-yz-xz\leq 0$ (2)

  Từ (1),(2),(3) $= > \sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{xyz(4-xy)}\geq \frac{12\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{\frac{12^4}{256}}}=4= >\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

 Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

[lahantaithe99]

 

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

 

Câu 1: $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+5y^2-4xy+4x-8y-12=0$

b) Cho $p(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên $x< 100$ sao cho $p(x)\vdots 11$

Câu 2

a) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$ với $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

b) Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^3=3x-1\\ y^3=3y-1\\ z^3=3z-1 \end{matrix}\right.$.

Tính $x^2+y^2+z^2$

 

 

 

Câu 1 b

 

$\Delta x'=-y^2+16=m^2 (m\in \mathbb{N})$

 

$\Rightarrow 16=y^2+m^2= 0+4^2=4^2+0^2$

 

Xét TH tìm đc $m,y$ rồi tìm đc $x$

 

Câu 2

 

a) Đặt $\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

 

Có $a^3=(\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}})^3= 110+3a$

 

Giải phương trình tìm ra $a=5\Rightarrow P=\frac{7}{3}$

 

b) Lấy trên từ dưới ta thu đc

 

$\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^2+xy+y^2-3)=0 & \\ (y-z)(y^2+yz+z^2-3)=0& \end{matrix}\right.$

 

Mà $x,y,z$ đôi một phân biẹt nên

 

$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2-3=0 & \\ y^2+yz+z^2-3=0& \end{matrix}\right.$

 

Từ theo từng vế kết hợp $x,y,z$ khác nhau thì có $x+y+z=0$

 

Cộng tất 3 phương trình đầu và $x+y+z=0$

 

$(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)=3(x+y+z)-3\Leftrightarrow xyz=-1$

 

Nhân 3 phương trình đầu

 

$(xyz)^3=(3x-1)(3y-1)(3z-1)\Leftrightarrow -1=27xyz-9(xy+yz+xz)+3(x+y+z)-1$

 

$\Rightarrow 9(xy+yz+xz)=-27\Rightarrow xy+yz+xz=-3$

 

Ta có $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=0+6=6$

[canhhoang30011999]

 

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

 

Câu 1: $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+5y^2-4xy+4x-8y-12=0$

b) Cho $p(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên $x< 100$ sao cho $p(x)\vdots 11$

Câu 2

a) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$ với $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

b) Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^3=3x-1\\ y^3=3y-1\\ z^3=3z-1 \end{matrix}\right.$.

Tính $x^2+y^2+z^2$

Câu 3.

a) Giải phương trình : $3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}$

b) GHPT : $\left\{\begin{matrix} 3x^2+2y^2+x+8y-4-4xy=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{matrix}\right.$

Câu 4.

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ không đi qua tâm. Gọi $A$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Gọi nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$ và cố định, sao cho $E,F$ nằm khác phía với $A$ so với $BC$, $AF,AE$ cắt $BC$ tại $M,N$. Lấy điểm $D$ sao cho tứ giác $MNED$ là hình bình hành.

a) Chứng minh : $MNEF$ là tứ giác nội tiếp

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDF$. Chứng minh : $I$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi góc nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$.

c) Tìm min của $OI$ khi $\angle EAF=60^{\circ},BC=R$

Câu 5. Cho $x,y,z>0,x+y+z=3$ Chứng minh rằng :

 $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

 

3b 

$\left\{\begin{matrix} & 3x^{2}+2y^{2}+x+8y-4xy=0 &(1) \\ & x^{2}-y^{2}+2x+y-3=0& (2) \end{matrix}\right.$

nhân 2 vế của (2) rồi trừ vế vế ta có

$(x-2y)^{2}-3(x-2y)+2= 0$

đến đây xét các TH là ra

[bengoyeutoanhoc]

 

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

Câu 3.

a) Giải phương trình : $3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}(1)$

b) GHPT : $\left\{\begin{matrix} 3x^2+2y^2+x+8y-4-4xy=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{matrix}\right.$

 

Đại còn mỗi bài $3.a$, gặm nốt

ĐKXĐ: $x\neq 0;x\geq \frac{-1}{3}$

Từ  $(1)\Rightarrow 12x^{2}-4x+x-1=4x\sqrt{3x+1} \Leftrightarrow \left ( 4x^{2}-4x\sqrt{3x+1} +3x+1\right )+2 ( 4x^{2} -3x-1)=0\Leftrightarrow(2x-\sqrt{3x+1})^{2}+2 ( 4x^{2} -3x-1)=0 \Leftrightarrow (2x-\sqrt{3x+1})(2x-\sqrt{3x+1}+4x+2\sqrt{3x+1})=0 \Leftrightarrow (2x-\sqrt{3x+1})(6x+\sqrt{3x+1})=0 \Leftrightarrow \left ( 2x-\sqrt{3x+1} \right )^{2}+2(2x-\sqrt{3x+1})(2x+\sqrt{3x+1})=0$ 

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 2x=\sqrt{3x+1} & \\ -6x=\sqrt{3x+1}& \end{bmatrix}\Leftrightarrow ...$

Đến đây thì dễ rồi! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bengoyeutoanhoc: 20-03-2014 - 19:26

[DarkBlood]

 

Câu 1:

b) Cho $p(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên $x< 100$ sao cho $p(x)\vdots 11$

 

Câu 4.

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ không đi qua tâm. Gọi $A$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Gọi nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$ và cố định, sao cho $E,F$ nằm khác phía với $A$ so với $BC$, $AF,AE$ cắt $BC$ tại $M,N$. Lấy điểm $D$ sao cho tứ giác $MNED$ là hình bình hành.

a) Chứng minh : $MNEF$ là tứ giác nội tiếp

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDF$. Chứng minh : $I$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi góc nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$.

c) Tìm min của $OI$ khi $\angle EAF=60^{\circ},BC=R$

Câu 1b: $P(x)\vdots 11 \Rightarrow (x-1)^3\equiv\ 1\ (\bmod\ 11)$

Từ đây chứng minh được $x-1\equiv\ 1\ (\bmod\ 11)$ hay $x\equiv\ 2\ (\bmod\ 11)$

Thử lại thỏa mãn.

 

Câu 4:

 

Không mất tổng quát giả sử $E$ nằm trên cung $BF.$

$a)$ $\widehat{ANC}=\textrm{sđ}\widehat{AC}+\textrm{sđ}\widehat{BE}=\textrm{sđ}\widehat{AB}+\textrm{sđ}\widehat{BE}=\textrm{sđ}\widehat{AE}=\widehat{EFE}$

Từ đó có điều phải chứng minh.

$b)$ Đường tròn tâm $I$ cắt đường tròn tâm $O$ tại $P.$

$AO$ cắt $EP$ tại $H,$ $OI$ cắt $PF$ tại $K.$

Ta có: 

$\widehat{FPD}=\widehat{FMD}=\widehat{FAE}=\widehat{FPE}$

Do đó $E, D, P$ thẳng hàng. Mà $ED\parallel BC$ nên $EP\parallel BC.$

Mặt khác $AO\perp BC$ nên $AO\perp EP \Rightarrow \widehat{OHP}=90^{\circ}$

Ta có: $OF=OP, IF=IP$ nên $OI$ là trung trực $PF.$

Nên $OI\perp PF \Rightarrow \widehat{OKP}=90^{\circ}$

Do đó tứ giác $OHKP$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{HOK}=\widehat{HPK}=\widehat{EAF}=\textrm{const}$

Từ đó suy ra tia $OI$ cố định. Vậy ta có điều phải chứng minh.

 

Spoiler

$c)$ Các bạn kiểm tra giúp mình xem sai ở đâu nha :| 

Ta có: $OI=OK-IK\Rightarrow OI(OK+IK)=OK^2-IK^2=(OF^2-FK^2)-(IF^2-FK^2)=R^2-IF^2$

Vì $OK\leq OF=R$ và $IK\leq IF$ nên $OI(R+IF)\geq OI(OK+IK)=R^2-IF^2$

$\Rightarrow OI\geq R-IF$

Do đó $OI$ min khi và chỉ khi $IF$ max.

Nhưng lúc vẽ bằng máy tính thì mình thấy $OI$ min khi $F\equiv K$ nghĩa là $IF$ min??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 20-03-2014 - 22:35

[PT42]

Câu 2a)
Nháp : Ta tìm x, y hữu tỷ sao cho $55 + \sqrt{3024} = 55 + 12\sqrt{21} = (x + y\sqrt{21})^{3}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{3} + 63xy^{2} = 55\\3x^{2}y + 21y^{3}= 12 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{3} + 63xy^{2} = 55\\x^{2}y + 7y^{3} = 4 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 4x^{3} - 55x^{2}y + 252 xy^{2} - 385y^{3} = 0$

Đặt $\frac{x}{y} = t$ có pt $4t^{3} - 55t^{2} + 252t - 385 = 0$

$\Rightarrow (t - 5)(4t^{2} - 35t + 77) = 0$

Mà $4t^{2} - 35t + 77 = (2t - \frac{35}{4})^{2} + \frac{7}{16} > 0$ nên t = 5 hay x = 5y

$\Rightarrow x^{2}y + 7y^{3} = 25y^{3} + 7y^{3} = 32y^{3} = 4$ $\Rightarrow y = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow x = \frac{5}{2}$

 

Làm :

Ta có $55 + \sqrt{3024} = \left ( \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2} \right )^{3}$; $55 - \sqrt{3024} = \left ( \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2} \right )^{3}$

Nên a = $\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$ = 5

$\Rightarrow P = \frac{125 - 15 + 2}{125 - 100 + 20 - 2}$ = $\frac{112}{48}$ = $\frac{7}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 22-03-2014 - 08:49

[mnguyen99]

2b.làm thế này cho ngắn.

Nhận thấy sự tương đương của 3 pt nên x,y,z là nghiệm của pt $t^{3}=3t-1$$\Leftrightarrow (t-x)(t-y)(t-z)=0$

từ đó tính được x+y+z và xy +xz+yz.

[Trang Luong]

Bài 5:(Bài này khá hay)

 Ta có:$\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz< = > \sum \frac{(x^2+z^2)+(y^2+z^2)}{xyz(4-xy)}\geq 4$

Mà theo AM-GM có:$\sum \frac{(x^2+z^2)+(y^2+z^2)}{xyz(4-xy)}\geq \sum \frac{2xz+2yz}{xyz(4-xy)}=2\sum \frac{z(x+y)}{xyz(4-xy)}=2\sum \frac{x+y}{xy(4-xy)}=2\sum \frac{1}{y(4-xy)}+2\sum \frac{1}{x(4-xy)}\geq 2.6\sqrt[6]{\frac{1}{\left [ xyz(4-xy)(4-yz)(4-xz) \right ]^2}}=\frac{12}{\sqrt[3]{xyz(4-xy)(4-yz)(4-xz)}}=\frac{12\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3xyz(4-xy)(4-yz)(4-xz)}}$ (1) 

Theo AM-GM 4 số có:$3xyz(4-xy)(4-yz)(4-xz)\leq \frac{(3xyz+4-xy+4-yz+4-xz)^4}{256}=\frac{(12+3xyz-xy-yz-xz)^4}{256}$ (3)

Mặt khác ta có :$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{3}=3= > \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq 3= > 3xyz-xy-yz-xz\leq 0$ (2)

  Từ (1),(2),(3) $= > \sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{xyz(4-xy)}\geq \frac{12\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{\frac{12^4}{256}}}=4= >\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

 Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

Cách của thầy em:

Ta có:

$\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-xy}$$=\sum \frac{x^{2}}{4-yz}+\sum \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4-yz}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{12-\sum yz}+\frac{9(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{12-\sum yz} \geq \frac{12\sum xy}{12-\sum xy}\geq \frac{12\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}{4-\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}$

Đặt $\sqrt[3]{xyz}=t$

Ta chứng minh

$\frac{12t^{2}}{4-t^{2}}\geq 4t^{3}\Leftrightarrow \frac{3}{4-t^{2}}\geq t\Leftrightarrow 3\geq -t^{3}+4t\Leftrightarrow (t-1)(t^{2}+t-3)\geq 0$

Mà $3t^{2}\leq xy+yz+zx\leq \frac{{x+y+z}^{2}}{3}\Leftrightarrow t\leq 1$

nên$\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 21-03-2014 - 22:45

[vuhieu258]

Cách của thầy em:

Ta có:

$\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-xy}$$=\sum \frac{x^{2}}{4-yz}+\sum \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4-yz}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{12-\sum yz}+\frac{9(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{12-\sum yz} \geq \frac{12\sum xy}{12-\sum xy}\geq \frac{12\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}{4-\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}$

Đặt $\sqrt[3]{xyz}=t$

Ta chứng minh

$\frac{12t^{2}}{4-t^{2}}\geq 4t^{3}\Leftrightarrow \frac{3}{4-t^{2}}\geq t\Leftrightarrow 3\geq -t^{3}+4t\Leftrightarrow (t-1)(t^{2}+t-3)\geq 0$

Mà $3t^{2}\leq xy+yz+zx\leq \frac{{x+y+z}^{2}}{3}\Leftrightarrow t\leq 1$

nên$\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

thầy Sang hả bạn

[phuocdinh1999]

Cách của thầy em:

Ta có:

$\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-xy}$$=\sum \frac{x^{2}}{4-yz}+\sum \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4-yz}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{12-\sum yz}+\frac{9(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{12-\sum yz} \geq \frac{12\sum xy}{12-\sum xy}\geq \frac{12\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}{4-\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}$ (*)

Đặt $\sqrt[3]{xyz}=t$

Ta chứng minh

$\frac{12t^{2}}{4-t^{2}}\geq 4t^{3}\Leftrightarrow \frac{3}{4-t^{2}}\geq t\Leftrightarrow 3\geq -t^{3}+4t\Leftrightarrow (t-1)(t^{2}+t-3)\geq 0$

Mà $3t^{2}\leq xy+yz+zx\leq \frac{{x+y+z}^{2}}{3}\Leftrightarrow t\leq 1$

nên$\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

Chỗ BĐT (*) ngược dấu rồi bạn!

[phuocdinh1999]

 

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

 

Câu 5. Cho $x,y,z>0,x+y+z=3$ Chứng minh rằng :

 $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

 

 

Mình xin đóng góp thêm $1$ cách :

Thep AM-GM: $xyz\leq 1$

$BDT\Leftrightarrow \left ( x^2+y^2+z^2 \right )\left ( \sum \frac{1}{4-xy} \right )+\sum \frac{z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

 

Ta có: $(x^2+y^2+z^2)\left ( \sum \frac{1}{4-xy} \right )\geq \frac{9(x^2+y^2+z^2)}{12-xy-yz-zx}=\frac{9\sum x^2}{\frac{4}{3}(x+y+z)^2-\sum xy}$

$=\frac{9\sum x^2}{\frac{4}{3}\sum x^2+\frac{5}{3}\sum xy}\geq 3\geq 3xyz$ (do $\sum x^2\geq \sum xy$) $(1)$

 

Lại có: $\frac{z^2}{4-xy}+\frac{z(4-xy)}{9}+\frac{1}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{z^3}{27}}=z$ (AM-GM)

Lập 3 BĐT tương tự: $\sum \frac{z^2}{4-xy}+\sum \frac{z(4-xy)}{9}+1\geq \sum x\Rightarrow \sum \frac{z^2}{4-xy}\geq \frac{2}{3}+\frac{xyz}{3}\geq xyz$ $(2)$

 

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có đpcm

[BysLyl]

 

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

 

Câu 1:

a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+5y^2-4xy+4x-8y-12=0$

b) Cho $p(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên $x< 100$ sao cho $p(x)\vdots 11$

Câu 2

a) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$ với $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

b) Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^3=3x-1\\ y^3=3y-1\\ z^3=3z-1 \end{matrix}\right.$.

Tính $x^2+y^2+z^2$

Câu 3.

a) Giải phương trình : $3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}$

b) GHPT : $\left\{\begin{matrix} 3x^2+2y^2+x+8y-4-4xy=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{matrix}\right.$

Câu 4.

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ không đi qua tâm. Gọi $A$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Gọi nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$ và cố định, sao cho $E,F$ nằm khác phía với $A$ so với $BC$, $AF,AE$ cắt $BC$ tại $M,N$. Lấy điểm $D$ sao cho tứ giác $MNED$ là hình bình hành.

a) Chứng minh : $MNEF$ là tứ giác nội tiếp

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDF$. Chứng minh : $I$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi góc nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$.

c) Tìm min của $OI$ khi $\angle EAF=60^{\circ},BC=R$

Câu 5. Cho $x,y,z>0,x+y+z=3$ Chứng minh rằng :

 $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

P/s: Thánh nào siêu thỳ làm ngay cho mk câu hình cái. Trâu wa   

 

câu 2b:

trừ mỗi biểu thức cho nhau => (x-y)(x²+xy+y²)=0. do x khác y =>x²+xy+y²=0 (1). làm 2 cái tương tự, đặt là (2); (3) trừ tiếp 2 trong 3 biểu thức rồi biến đổi suy ra x+y+z=0. 

Cộng theo vế (1);(2); (3):

2(x²+y²+z²)+ xy+ yz+ zx=9

=>$\frac{3}{2}$ (x²+y²+z²)=9 => đpcm

[Vu Thuy Linh]

Chỗ BĐT (*) ngược dấu rồi bạn!

đúng mà bạn, đâu có ngược dấu

[Hoang Tung 126]

Cách của thầy em:

Ta có:

$\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-xy}$$=\sum \frac{x^{2}}{4-yz}+\sum \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4-yz}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{12-\sum yz}+\frac{9(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{12-\sum yz} \geq \frac{12\sum xy}{12-\sum xy}\geq \frac{12\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}{4-\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}$

Đặt $\sqrt[3]{xyz}=t$

Ta chứng minh

$\frac{12t^{2}}{4-t^{2}}\geq 4t^{3}\Leftrightarrow \frac{3}{4-t^{2}}\geq t\Leftrightarrow 3\geq -t^{3}+4t\Leftrightarrow (t-1)(t^{2}+t-3)\geq 0$

Mà $3t^{2}\leq xy+yz+zx\leq \frac{{x+y+z}^{2}}{3}\Leftrightarrow t\leq 1$

nên$\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

Cách này cũng khá hay

[cucuong567]

hình hơi nhỏ các bạn thông cảm

(lần đầu tiên post bài lên có gì sai xin các bạn bỏ qua (dưới đây chỉ là định hướng thôi!))

Mình chỉ chứng minh câu b và câu c thôi

b)

(I) và (O) cắt nhau tại K và F

DE cắt (O) tại K'

Khi đó: ∠FKD=∠FMD

Mà ∠FMD=∠FAE

Và ∠FAE=∠FK'E

Do đó: ∠FKD=∠FK'E

Do đó K trùng K' ( vì cùng là giao điểm của cung chứa góc FAE dựng trên đoạn FD và (O) )

Khi đó KE//BC

mà ∠FKE=∠EAF:cố định

Và OI vuông góc với FK

=>...............................

c) Ta dễ dàng c/m tam giác FIO đồng dạng với tam giác FDE(g-g)

=>(IO/DE)=(FO/FE)=(√(3)/3)

=>IO=(√(3)/3).DE

Như vậy chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của DE hay nói cách khác là MN

Từ đó ta sẽ có bài toán : Quay 1 góc 60 độ quanh A cắt đoạn thẳng BC cố định tại M,N. Tìm minMN

Giả sử AM>= AN

Vẽ ∠HAK= 60°/△HAK đều

Ta c/m HK là đoạn nhỏ nhất cần tìm

hay nói cách khác là MN>=HK.

Để c/m điều này ta chỉ cần c/m S[MAH]>=S[NAK]

hay 1/2. AM.AH.sinMAH>=1/2.AN.AK.sinNAK

<=>AM>=AN(đúng với đk trên)

( vì AM=AN, ∠MAH=∠NAK=60°-∠HAN)

=> min MN là HK <=> M trùng H, N

trùng K

Sau đó áp dụng vào bài toán trên

( bài toán phụ trên cũng có thể là một cách để c/m tanα+tanβ>=(1/2)tan(α+β)

(hai góc α và β đều nhỏ hơn hoặc bằng 45°))

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cucuong567: 25-03-2014 - 23:57

[haphuongsone229]

http://raumuongluocp...try_id/10256169
Đề và đáo án đây các bạn. Tham khảo nha