Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 20-03-2014 - 12:39

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

 

Câu 1:

a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+5y^2-4xy+4x-8y-12=0$

b) Cho $p(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên $x< 100$ sao cho $p(x)\vdots 11$

Câu 2

a) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$ với $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

b) Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^3=3x-1\\ y^3=3y-1\\ z^3=3z-1 \end{matrix}\right.$.

Tính $x^2+y^2+z^2$

Câu 3.

a) Giải phương trình : $3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}$

b) GHPT : $\left\{\begin{matrix} 3x^2+2y^2+x+8y-4-4xy=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{matrix}\right.$

Câu 4.

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ không đi qua tâm. Gọi $A$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Gọi nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$ và cố định, sao cho $E,F$ nằm khác phía với $A$ so với $BC$, $AF,AE$ cắt $BC$ tại $M,N$. Lấy điểm $D$ sao cho tứ giác $MNED$ là hình bình hành.

a) Chứng minh : $MNEF$ là tứ giác nội tiếp

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDF$. Chứng minh : $I$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi góc nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$.

c) Tìm min của $OI$ khi $\angle EAF=60^{\circ},BC=R$

Câu 5. Cho $x,y,z>0,x+y+z=3$ Chứng minh rằng :

 $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

P/s: Thánh nào siêu thỳ làm ngay cho mk câu hình cái. Trâu wa  :( 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 21-03-2014 - 13:06

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#2 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 20-03-2014 - 13:52

 

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

 

Câu 1: $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+5y^2-4xy+4x-8y-12=0$

b) Cho $p(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên $x< 100$ sao cho $p(x)\vdots 11$

Câu 2

a) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$ với $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

b) Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^3=3x-1\\ y^3=3y-1\\ z^3=3z-1 \end{matrix}\right.$.

Tính $x^2+y^2+z^2$

Câu 3.

a) Giải phương trình : $3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}$

b) GHPT : $\left\{\begin{matrix} 3x^2+2y^2+x+8y-4-4xy=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{matrix}\right.$

Câu 4.

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ không đi qua tâm. Gọi $A$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Gọi nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$ và cố định, sao cho $E,F$ nằm khác phía với $A$ so với $BC$, $AF,AE$ cắt $BC$ tại $M,N$. Lấy điểm $D$ sao cho tứ giác $MNED$ là hình bình hành.

a) Chứng minh : $MNEF$ là tứ giác nội tiếp

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDF$. Chứng minh : $I$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi góc nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$.

c) Tìm min của $OI$ khi $\angle EAF=60^{\circ},BC=R$

Câu 5. Cho $x,y,z>0,x+y+z=3$ Chứng minh rằng :

 $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

 

Bài 5:(Bài này khá hay)

 Ta có:$\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz< = > \sum \frac{(x^2+z^2)+(y^2+z^2)}{xyz(4-xy)}\geq 4$

Mà theo AM-GM có:$\sum \frac{(x^2+z^2)+(y^2+z^2)}{xyz(4-xy)}\geq \sum \frac{2xz+2yz}{xyz(4-xy)}=2\sum \frac{z(x+y)}{xyz(4-xy)}=2\sum \frac{x+y}{xy(4-xy)}=2\sum \frac{1}{y(4-xy)}+2\sum \frac{1}{x(4-xy)}\geq 2.6\sqrt[6]{\frac{1}{\left [ xyz(4-xy)(4-yz)(4-xz) \right ]^2}}=\frac{12}{\sqrt[3]{xyz(4-xy)(4-yz)(4-xz)}}=\frac{12\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3xyz(4-xy)(4-yz)(4-xz)}}$ (1) 

Theo AM-GM 4 số có:$3xyz(4-xy)(4-yz)(4-xz)\leq \frac{(3xyz+4-xy+4-yz+4-xz)^4}{256}=\frac{(12+3xyz-xy-yz-xz)^4}{256}$ (3)

Mặt khác ta có :$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{3}=3= > \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq 3= > 3xyz-xy-yz-xz\leq 0$ (2)

  Từ (1),(2),(3) $= > \sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{xyz(4-xy)}\geq \frac{12\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{\frac{12^4}{256}}}=4= >\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

 Dấu = xảy ra khi x=y=z=1



#3 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 20-03-2014 - 15:42

 

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

 

Câu 1: $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+5y^2-4xy+4x-8y-12=0$

b) Cho $p(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên $x< 100$ sao cho $p(x)\vdots 11$

Câu 2

a) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$ với $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

b) Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^3=3x-1\\ y^3=3y-1\\ z^3=3z-1 \end{matrix}\right.$.

Tính $x^2+y^2+z^2$

 

 

 

Câu 1 b

 

$\Delta x'=-y^2+16=m^2 (m\in \mathbb{N})$

 

$\Rightarrow 16=y^2+m^2= 0+4^2=4^2+0^2$

 

Xét TH tìm đc $m,y$ rồi tìm đc $x$

 

Câu 2

 

a) Đặt $\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

 

Có $a^3=(\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}})^3= 110+3a$

 

Giải phương trình tìm ra $a=5\Rightarrow P=\frac{7}{3}$

 

b) Lấy trên từ dưới ta thu đc

 

$\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^2+xy+y^2-3)=0 & \\ (y-z)(y^2+yz+z^2-3)=0& \end{matrix}\right.$

 

Mà $x,y,z$ đôi một phân biẹt nên

 

$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2-3=0 & \\ y^2+yz+z^2-3=0& \end{matrix}\right.$

 

Từ theo từng vế kết hợp $x,y,z$ khác nhau thì có $x+y+z=0$

 

Cộng tất 3 phương trình đầu và $x+y+z=0$

 

$(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)=3(x+y+z)-3\Leftrightarrow xyz=-1$

 

Nhân 3 phương trình đầu

 

$(xyz)^3=(3x-1)(3y-1)(3z-1)\Leftrightarrow -1=27xyz-9(xy+yz+xz)+3(x+y+z)-1$

 

$\Rightarrow 9(xy+yz+xz)=-27\Rightarrow xy+yz+xz=-3$

 

Ta có $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=0+6=6$



#4 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 20-03-2014 - 18:29

 

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

 

Câu 1: $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+5y^2-4xy+4x-8y-12=0$

b) Cho $p(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên $x< 100$ sao cho $p(x)\vdots 11$

Câu 2

a) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$ với $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

b) Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^3=3x-1\\ y^3=3y-1\\ z^3=3z-1 \end{matrix}\right.$.

Tính $x^2+y^2+z^2$

Câu 3.

a) Giải phương trình : $3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}$

b) GHPT : $\left\{\begin{matrix} 3x^2+2y^2+x+8y-4-4xy=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{matrix}\right.$

Câu 4.

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ không đi qua tâm. Gọi $A$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Gọi nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$ và cố định, sao cho $E,F$ nằm khác phía với $A$ so với $BC$, $AF,AE$ cắt $BC$ tại $M,N$. Lấy điểm $D$ sao cho tứ giác $MNED$ là hình bình hành.

a) Chứng minh : $MNEF$ là tứ giác nội tiếp

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDF$. Chứng minh : $I$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi góc nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$.

c) Tìm min của $OI$ khi $\angle EAF=60^{\circ},BC=R$

Câu 5. Cho $x,y,z>0,x+y+z=3$ Chứng minh rằng :

 $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

 

3b 

$\left\{\begin{matrix} & 3x^{2}+2y^{2}+x+8y-4xy=0 &(1) \\ & x^{2}-y^{2}+2x+y-3=0& (2) \end{matrix}\right.$

nhân 2 vế của (2) rồi trừ vế vế ta có

$(x-2y)^{2}-3(x-2y)+2= 0$

đến đây xét các TH là ra



#5 bengoyeutoanhoc

bengoyeutoanhoc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Thị Trấn Kỳ Anh, Hà Tĩnh

Đã gửi 20-03-2014 - 19:17

 

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

Câu 3.

a) Giải phương trình : $3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}(1)$

b) GHPT : $\left\{\begin{matrix} 3x^2+2y^2+x+8y-4-4xy=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{matrix}\right.$

 

Đại còn mỗi bài $3.a$, gặm nốt ^_^

ĐKXĐ: $x\neq 0;x\geq \frac{-1}{3}$

Từ  $(1)\Rightarrow 12x^{2}-4x+x-1=4x\sqrt{3x+1} \Leftrightarrow \left ( 4x^{2}-4x\sqrt{3x+1} +3x+1\right )+2 ( 4x^{2} -3x-1)=0\Leftrightarrow(2x-\sqrt{3x+1})^{2}+2 ( 4x^{2} -3x-1)=0 \Leftrightarrow (2x-\sqrt{3x+1})(2x-\sqrt{3x+1}+4x+2\sqrt{3x+1})=0 \Leftrightarrow (2x-\sqrt{3x+1})(6x+\sqrt{3x+1})=0 \Leftrightarrow \left ( 2x-\sqrt{3x+1} \right )^{2}+2(2x-\sqrt{3x+1})(2x+\sqrt{3x+1})=0$ 

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 2x=\sqrt{3x+1} & \\ -6x=\sqrt{3x+1}& \end{bmatrix}\Leftrightarrow ...$

Đến đây thì dễ rồi! 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bengoyeutoanhoc: 20-03-2014 - 19:26


#6 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-03-2014 - 22:34

 

Câu 1:

b) Cho $p(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên $x< 100$ sao cho $p(x)\vdots 11$

 

Câu 4.

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ không đi qua tâm. Gọi $A$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Gọi nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$ và cố định, sao cho $E,F$ nằm khác phía với $A$ so với $BC$, $AF,AE$ cắt $BC$ tại $M,N$. Lấy điểm $D$ sao cho tứ giác $MNED$ là hình bình hành.

a) Chứng minh : $MNEF$ là tứ giác nội tiếp

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDF$. Chứng minh : $I$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi góc nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$.

c) Tìm min của $OI$ khi $\angle EAF=60^{\circ},BC=R$

Câu 1b: $P(x)\vdots 11 \Rightarrow (x-1)^3\equiv\ 1\ (\bmod\ 11)$

Từ đây chứng minh được $x-1\equiv\ 1\ (\bmod\ 11)$ hay $x\equiv\ 2\ (\bmod\ 11)$

Thử lại thỏa mãn.

 

Câu 4:

1058702750_639123992_574_574.jpg

 

Không mất tổng quát giả sử $E$ nằm trên cung $BF.$

$a)$ $\widehat{ANC}=\textrm{sđ}\widehat{AC}+\textrm{sđ}\widehat{BE}=\textrm{sđ}\widehat{AB}+\textrm{sđ}\widehat{BE}=\textrm{sđ}\widehat{AE}=\widehat{EFE}$

Từ đó có điều phải chứng minh.

$b)$ Đường tròn tâm $I$ cắt đường tròn tâm $O$ tại $P.$

$AO$ cắt $EP$ tại $H,$ $OI$ cắt $PF$ tại $K.$

Ta có: 

$\widehat{FPD}=\widehat{FMD}=\widehat{FAE}=\widehat{FPE}$

Do đó $E, D, P$ thẳng hàng. Mà $ED\parallel BC$ nên $EP\parallel BC.$

Mặt khác $AO\perp BC$ nên $AO\perp EP \Rightarrow \widehat{OHP}=90^{\circ}$

Ta có: $OF=OP, IF=IP$ nên $OI$ là trung trực $PF.$

Nên $OI\perp PF \Rightarrow \widehat{OKP}=90^{\circ}$

Do đó tứ giác $OHKP$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{HOK}=\widehat{HPK}=\widehat{EAF}=\textrm{const}$

Từ đó suy ra tia $OI$ cố định. Vậy ta có điều phải chứng minh.

 

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 20-03-2014 - 22:35


#7 PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh, K48A1T

Đã gửi 21-03-2014 - 10:58

Câu 2a)
Nháp : Ta tìm x, y hữu tỷ sao cho $55 + \sqrt{3024} = 55 + 12\sqrt{21} = (x + y\sqrt{21})^{3}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{3} + 63xy^{2} = 55\\3x^{2}y + 21y^{3}= 12 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{3} + 63xy^{2} = 55\\x^{2}y + 7y^{3} = 4 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 4x^{3} - 55x^{2}y + 252 xy^{2} - 385y^{3} = 0$

Đặt $\frac{x}{y} = t$ có pt $4t^{3} - 55t^{2} + 252t - 385 = 0$

$\Rightarrow (t - 5)(4t^{2} - 35t + 77) = 0$

Mà $4t^{2} - 35t + 77 = (2t - \frac{35}{4})^{2} + \frac{7}{16} > 0$ nên t = 5 hay x = 5y

$\Rightarrow x^{2}y + 7y^{3} = 25y^{3} + 7y^{3} = 32y^{3} = 4$ $\Rightarrow y = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow x = \frac{5}{2}$

 

Làm :

Ta có $55 + \sqrt{3024} = \left ( \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2} \right )^{3}$; $55 - \sqrt{3024} = \left ( \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2} \right )^{3}$

Nên a = $\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$ = 5

$\Rightarrow P = \frac{125 - 15 + 2}{125 - 100 + 20 - 2}$ = $\frac{112}{48}$ = $\frac{7}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 22-03-2014 - 08:49

Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)


#8 mnguyen99

mnguyen99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 696 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán ,THPT chuyên Quốc Học Huế
  • Sở thích:Sherlock Holmes, người đàn ông chưa bao giờ sống và không bao giờ chết.

Đã gửi 21-03-2014 - 22:03

2b.làm thế này cho ngắn.

Nhận thấy sự tương đương của 3 pt nên x,y,z là nghiệm của pt $t^{3}=3t-1$$\Leftrightarrow (t-x)(t-y)(t-z)=0$

từ đó tính được x+y+z và xy +xz+yz.


THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$??? 

 

TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026


#9 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 21-03-2014 - 22:43

Bài 5:(Bài này khá hay)

 Ta có:$\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz< = > \sum \frac{(x^2+z^2)+(y^2+z^2)}{xyz(4-xy)}\geq 4$

Mà theo AM-GM có:$\sum \frac{(x^2+z^2)+(y^2+z^2)}{xyz(4-xy)}\geq \sum \frac{2xz+2yz}{xyz(4-xy)}=2\sum \frac{z(x+y)}{xyz(4-xy)}=2\sum \frac{x+y}{xy(4-xy)}=2\sum \frac{1}{y(4-xy)}+2\sum \frac{1}{x(4-xy)}\geq 2.6\sqrt[6]{\frac{1}{\left [ xyz(4-xy)(4-yz)(4-xz) \right ]^2}}=\frac{12}{\sqrt[3]{xyz(4-xy)(4-yz)(4-xz)}}=\frac{12\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3xyz(4-xy)(4-yz)(4-xz)}}$ (1) 

Theo AM-GM 4 số có:$3xyz(4-xy)(4-yz)(4-xz)\leq \frac{(3xyz+4-xy+4-yz+4-xz)^4}{256}=\frac{(12+3xyz-xy-yz-xz)^4}{256}$ (3)

Mặt khác ta có :$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{3}=3= > \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq 3= > 3xyz-xy-yz-xz\leq 0$ (2)

  Từ (1),(2),(3) $= > \sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{xyz(4-xy)}\geq \frac{12\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{\frac{12^4}{256}}}=4= >\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

 Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

Cách của thầy em:

Ta có:

$\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-xy}$$=\sum \frac{x^{2}}{4-yz}+\sum \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4-yz}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{12-\sum yz}+\frac{9(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{12-\sum yz} \geq \frac{12\sum xy}{12-\sum xy}\geq \frac{12\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}{4-\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}$

Đặt $\sqrt[3]{xyz}=t$

Ta chứng minh

$\frac{12t^{2}}{4-t^{2}}\geq 4t^{3}\Leftrightarrow \frac{3}{4-t^{2}}\geq t\Leftrightarrow 3\geq -t^{3}+4t\Leftrightarrow (t-1)(t^{2}+t-3)\geq 0$

Mà $3t^{2}\leq xy+yz+zx\leq \frac{{x+y+z}^{2}}{3}\Leftrightarrow t\leq 1$

nên$\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-xy}\geq 4xyz$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 21-03-2014 - 22:45

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#10 vuhieu258

vuhieu258

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ
  • Sở thích:Toán Học

Đã gửi 22-03-2014 - 07:40

Cách của thầy em:

Ta có:

$\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-xy}$$=\sum \frac{x^{2}}{4-yz}+\sum \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4-yz}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{12-\sum yz}+\frac{9(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{12-\sum yz} \geq \frac{12\sum xy}{12-\sum xy}\geq \frac{12\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}{4-\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}$

Đặt $\sqrt[3]{xyz}=t$

Ta chứng minh

$\frac{12t^{2}}{4-t^{2}}\geq 4t^{3}\Leftrightarrow \frac{3}{4-t^{2}}\geq t\Leftrightarrow 3\geq -t^{3}+4t\Leftrightarrow (t-1)(t^{2}+t-3)\geq 0$

Mà $3t^{2}\leq xy+yz+zx\leq \frac{{x+y+z}^{2}}{3}\Leftrightarrow t\leq 1$

nên$\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

thầy Sang hả bạn



#11 phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 22-03-2014 - 17:43

Cách của thầy em:

Ta có:

$\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-xy}$$=\sum \frac{x^{2}}{4-yz}+\sum \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4-yz}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{12-\sum yz}+\frac{9(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{12-\sum yz} \geq \frac{12\sum xy}{12-\sum xy}\geq \frac{12\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}{4-\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}$ (*)

Đặt $\sqrt[3]{xyz}=t$

Ta chứng minh

$\frac{12t^{2}}{4-t^{2}}\geq 4t^{3}\Leftrightarrow \frac{3}{4-t^{2}}\geq t\Leftrightarrow 3\geq -t^{3}+4t\Leftrightarrow (t-1)(t^{2}+t-3)\geq 0$

Mà $3t^{2}\leq xy+yz+zx\leq \frac{{x+y+z}^{2}}{3}\Leftrightarrow t\leq 1$

nên$\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

Chỗ BĐT (*) ngược dấu rồi bạn! :icon6:



#12 phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 22-03-2014 - 17:59

 

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

 

Câu 5. Cho $x,y,z>0,x+y+z=3$ Chứng minh rằng :

 $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

 

 

Mình xin đóng góp thêm $1$ cách :

Thep AM-GM: $xyz\leq 1$

$BDT\Leftrightarrow \left ( x^2+y^2+z^2 \right )\left ( \sum \frac{1}{4-xy} \right )+\sum \frac{z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

 

Ta có: $(x^2+y^2+z^2)\left ( \sum \frac{1}{4-xy} \right )\geq \frac{9(x^2+y^2+z^2)}{12-xy-yz-zx}=\frac{9\sum x^2}{\frac{4}{3}(x+y+z)^2-\sum xy}$

$=\frac{9\sum x^2}{\frac{4}{3}\sum x^2+\frac{5}{3}\sum xy}\geq 3\geq 3xyz$ (do $\sum x^2\geq \sum xy$) $(1)$

 

Lại có: $\frac{z^2}{4-xy}+\frac{z(4-xy)}{9}+\frac{1}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{z^3}{27}}=z$ (AM-GM)

Lập 3 BĐT tương tự: $\sum \frac{z^2}{4-xy}+\sum \frac{z(4-xy)}{9}+1\geq \sum x\Rightarrow \sum \frac{z^2}{4-xy}\geq \frac{2}{3}+\frac{xyz}{3}\geq xyz$ $(2)$

 

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có đpcm



#13 BysLyl

BysLyl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 22-03-2014 - 19:26

 

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

 

Câu 1:

a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+5y^2-4xy+4x-8y-12=0$

b) Cho $p(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên $x< 100$ sao cho $p(x)\vdots 11$

Câu 2

a) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$ với $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

b) Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^3=3x-1\\ y^3=3y-1\\ z^3=3z-1 \end{matrix}\right.$.

Tính $x^2+y^2+z^2$

Câu 3.

a) Giải phương trình : $3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}$

b) GHPT : $\left\{\begin{matrix} 3x^2+2y^2+x+8y-4-4xy=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{matrix}\right.$

Câu 4.

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ không đi qua tâm. Gọi $A$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Gọi nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$ và cố định, sao cho $E,F$ nằm khác phía với $A$ so với $BC$, $AF,AE$ cắt $BC$ tại $M,N$. Lấy điểm $D$ sao cho tứ giác $MNED$ là hình bình hành.

a) Chứng minh : $MNEF$ là tứ giác nội tiếp

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDF$. Chứng minh : $I$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi góc nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$.

c) Tìm min của $OI$ khi $\angle EAF=60^{\circ},BC=R$

Câu 5. Cho $x,y,z>0,x+y+z=3$ Chứng minh rằng :

 $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

P/s: Thánh nào siêu thỳ làm ngay cho mk câu hình cái. Trâu wa  :( 

 

câu 2b:

trừ mỗi biểu thức cho nhau => (x-y)(x2+xy+y2)=0. do x khác y =>x2+xy+y2=0 (1). làm 2 cái tương tự, đặt là (2); (3) trừ tiếp 2 trong 3 biểu thức rồi biến đổi suy ra x+y+z=0. 

Cộng theo vế (1);(2); (3):

2(x2+y2+z2)+ xy+ yz+ zx=9

=>$\frac{3}{2}$ (x2+y2+z2)=9 => đpcm


_Be your self- Live your life_  :rolleyes: 


#14 Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THCS Lâm Thao

Đã gửi 23-03-2014 - 20:39

Chỗ BĐT (*) ngược dấu rồi bạn! :icon6:

đúng mà bạn, đâu có ngược dấu



#15 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 24-03-2014 - 16:35

Cách của thầy em:

Ta có:

$\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-xy}$$=\sum \frac{x^{2}}{4-yz}+\sum \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4-yz}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{12-\sum yz}+\frac{9(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{12-\sum yz} \geq \frac{12\sum xy}{12-\sum xy}\geq \frac{12\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}{4-\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}$

Đặt $\sqrt[3]{xyz}=t$

Ta chứng minh

$\frac{12t^{2}}{4-t^{2}}\geq 4t^{3}\Leftrightarrow \frac{3}{4-t^{2}}\geq t\Leftrightarrow 3\geq -t^{3}+4t\Leftrightarrow (t-1)(t^{2}+t-3)\geq 0$

Mà $3t^{2}\leq xy+yz+zx\leq \frac{{x+y+z}^{2}}{3}\Leftrightarrow t\leq 1$

nên$\sum \frac{2x^2+y^2+z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

Cách này cũng khá hay



#16 cucuong567

cucuong567

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:the beatles, toán học, queen, adele, bob dylan, paul mccartney, john lennon

Đã gửi 25-03-2014 - 13:05

hình hơi nhỏ các bạn thông cảm

(lần đầu tiên post bài lên có gì sai xin các bạn bỏ qua (dưới đây chỉ là định hướng thôi!))

Mình chỉ chứng minh câu b và câu c thôi

b)

(I) và (O) cắt nhau tại K và F

DE cắt (O) tại K'

Khi đó: FKD=FMD

FMD=FAE

FAE=FK'E

Do đó: FKD=FK'E

Do đó K trùng K' ( vì cùng là giao điểm của cung chứa góc FAE dựng trên đoạn FD và (O) )

Khi đó KE//BC

FKE=EAF:cố định

Và OI vuông góc với FK

=>...............................

c) Ta dễ dàng c/m tam giác FIO đồng dạng với tam giác FDE(g-g)

=>(IO/DE)=(FO/FE)=(√(3)/3)

=>IO=(√(3)/3).DE

Như vậy chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của DE hay nói cách khác là MN

Từ đó ta sẽ có bài toán : Quay 1 góc 60 độ quanh A cắt đoạn thẳng BC cố định tại M,N. Tìm minMN

Giả sử AM>= AN

Vẽ HAK= 60°/HAK đều

Ta c/m HK là đoạn nhỏ nhất cần tìm

hay nói cách khác là MN>=HK.

Để c/m điều này ta chỉ cần c/m S[MAH]>=S[NAK]

hay 1/2. AM.AH.sinMAH>=1/2.AN.AK.sinNAK

<=>AM>=AN(đúng với đk trên)

( vì AM=AN, MAH=NAK=60°-HAN)

=> min MN là HK <=> M trùng H, N

trùng K

Sau đó áp dụng vào bài toán trên

( bài toán phụ trên cũng có thể là một cách để c/m tanα+tanβ>=(1/2)tan(α+β)

(hai góc α và β đều nhỏ hơn hoặc bằng 45°))

Hình gửi kèm

  • Untitled.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cucuong567: 25-03-2014 - 23:57


#17 haphuongsone229

haphuongsone229

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Toán + Tiếng Anh

Đã gửi 12-12-2014 - 20:47

http://raumuongluocp...try_id/10256169
Đề và đáo án đây các bạn. Tham khảo nha






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh