Chủ đề này có 8 trả lời

[HoangHungChelski]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
          HẢI DƯƠNG                                                                                          NĂM HỌC 2013-2014

                                                                THỜI GIAN: 150 '
                                                            NGÀY THI: 20/3/2014

Câu 1 (2đ)
a. Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}.(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^2}}$ với $-1\leq x\leq 1$
b. Cho $a,b$ thỏa mãn $a> b> 0$ và $a^3-a^2b+ab^2-6b^3=0$.
     Tính giá trị biểu thức $B=\frac{a^4-4b^4}{b^4-4a^4}$

Câu 2 (2đ)
a. Giải phương trình: $x^2(x^2+2)=4-x\sqrt{2x^2+4}$
b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3=2x+y & & \\ y^3=2y+x & & \end{matrix}\right.$

Câu 3 (2đ)
a. Tìm $x,y$ nguyên dương thỏa $xy^2+2xy+x=32y$
b. Cho 2 số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $2a^2+a=3b^2+b$. CMR $2a+2b+1$ là số chính phương.

Câu 4 (3đ)
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB.
         a. CMR: $\widehat{HKM}=2\widehat{AMH}$
         b. Các tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O;R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. CMR               $OD.GF=OG.DE$ 
         c. Tìm GTLN của chu vi $\bigtriangleup MAB$ theo R.

Câu 5 (1đ)
Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $2ab+6bc+2ac=7abc$. 
Tìm GTNN của $C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}$

P/s: công sức đằng đẵng 8 tháng trời ôn luyện quả là ko uổng phí 

 

[canhhoang30011999]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
          HẢI DƯƠNG                                                                                          NĂM HỌC 2013-2014

                                                                THỜI GIAN: 150 '
                                                            NGÀY THI: 20/3/2014

Câu 1 (2đ)
a. Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}.(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^2}}$ với $-1\leq x\leq 1$
b. Cho $a,b$ thỏa mãn $a> b> 0$ và $a^3-a^2b+ab^2-6b^3=0$.
     Tính giá trị biểu thức $B=\frac{a^4-4b^4}{b^4-4a^4}$

Câu 2 (2đ)
a. Giải phương trình: $x^2(x^2+2)=4-x\sqrt{2x^2+4}$
b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3=2x+y & & \\ y^3=2y+x & & \end{matrix}\right.$

Câu 3 (2đ)
a. Tìm $x,y$ nguyên dương thỏa $xy^2+2xy+x=32y$
b. Cho 2 số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $2a^2+a=3b^2+b$. CMR $2a+2b+1$ là số chính phương.

Câu 4 (3đ)
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB.
         a. CMR: $\widehat{HKM}=2\widehat{AMH}$
         b. Các tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O;R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. CMR               $OD.GF=OG.DE$ 
         c. Tìm GTLN của chu vi $\bigtriangleup MAB$ theo R.

Câu 5 (1đ)
Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $2ab+6bc+2ac=7abc$. 
Tìm GTNN của $C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}$

P/s: công sức đằng đẵng 8 tháng trời ôn luyện quả là ko uổng phí 

5

$gt\Leftrightarrow \frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}= 7$

đặt $\frac{1}{c}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{3}{a}= z$

ta có $2(x+y+z)=7$

lại có

$C=\frac{4}{4y+\frac{2z}{3}}+\frac{9}{x+\frac{4z}{3}}+\frac{4}{x+y}$

$\geq \frac{(2+3+2)^{2}}{2(x+y+z)}= 7$

[canhhoang30011999]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
          HẢI DƯƠNG                                                                                          NĂM HỌC 2013-2014

                                                                THỜI GIAN: 150 '
                                                            NGÀY THI: 20/3/2014

Câu 1 (2đ)
a. Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}.(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^2}}$ với $-1\leq x\leq 1$
b. Cho $a,b$ thỏa mãn $a> b> 0$ và $a^3-a^2b+ab^2-6b^3=0$.
     Tính giá trị biểu thức $B=\frac{a^4-4b^4}{b^4-4a^4}$

Câu 2 (2đ)
a. Giải phương trình: $x^2(x^2+2)=4-x\sqrt{2x^2+4}$
b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3=2x+y & & \\ y^3=2y+x & & \end{matrix}\right.$

Câu 3 (2đ)
a. Tìm $x,y$ nguyên dương thỏa $xy^2+2xy+x=32y$
b. Cho 2 số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $2a^2+a=3b^2+b$. CMR $2a+2b+1$ là số chính phương.

Câu 4 (3đ)
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB.
         a. CMR: $\widehat{HKM}=2\widehat{AMH}$
         b. Các tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O;R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. CMR               $OD.GF=OG.DE$ 
         c. Tìm GTLN của chu vi $\bigtriangleup MAB$ theo R.

Câu 5 (1đ)
Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $2ab+6bc+2ac=7abc$. 
Tìm GTNN của $C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}$

P/s: công sức đằng đẵng 8 tháng trời ôn luyện quả là ko uổng phí 

3b

$gt\Leftrightarrow (a-b)(2a+2b+1)= b^{2}$

giả sử $(a-b,2a+2b+1)=k$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & 2a+2b+1\vdots k& \\ & a-b\vdots k& \\ & b\vdots k & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 1\vdots k$

$\Rightarrow (a-b,2a+2b+1)= 1$

$\Rightarrow 2a+2b+1$ là số chính phương

[Vu Van Quy]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
          HẢI DƯƠNG                                                                                          NĂM HỌC 2013-2014

                                                                THỜI GIAN: 150 '
                                                            NGÀY THI: 20/3/2014
Câu 2 (2đ)
a. Giải phương trình: $x^2(x^2+2)=4-x\sqrt{2x^2+4}$
b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3=2x+y & & \\ y^3=2y+x & & \end{matrix}\right.$

a.

PT$\Leftrightarrow x^2(x^2+2)=4-\sqrt{2x^2(x^2+2)}$

Đặt $t=\sqrt{2x^2(x^2+2)}$   ($t\geq 0$ )thay vào :$\frac{t^2}{2}+t-4=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=4 & \\ t=-2 & \end{bmatrix}$

$t=4\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}$

[lahantaithe99]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
          HẢI DƯƠNG                                                                                          NĂM HỌC 2013-2014

                                                                THỜI GIAN: 150 '
                                                            NGÀY THI: 20/3/2014



Câu 2 (2đ)

b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3=2x+y & & \\ y^3=2y+x & & \end{matrix}\right.$

Câu 3 (2đ)
a. Tìm $x,y$ nguyên dương thỏa $xy^2+2xy+x=32y$



 

Câu 2b

Trừ theo từng vế có

$(x-y)(x^2+xy+y^2)=x-y\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-1)=0$

TH $x-y=0$ dễ rồi

TH $x^2+xy+y^2-1=0$

$\Leftrightarrow x^3+x^2y+xy^2-x=0\Leftrightarrow 2x+y+x^2y+xy^2-x=0$

$\Leftrightarrow (x+y)(xy+1)=0$

Đến đây thi dễ oy 

Câu 3a

 

$GT\Leftrightarrow x(y+1)^2=32y$

 

$\Leftrightarrow x=\frac{32y}{(y+1)^2}$ do $(y+1)^2\neq 0$ với y nguyên dương

 

Vì $x$ nguyên dương nên $32y\vdots (y+1)^2$

 

Thấy $(y,y+1)=1\Rightarrow (y,(y+1)^2)=1$

 

$\Rightarrow 32\vdots (y+1)^2$

 

Kết hợp với $(y+1)^2$ là số chính phương và $y>0$ để tìm ra $y$ thay vào tìm $x$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 20-03-2014 - 19:22

[nguyenhongsonk612]

Câu 5 (1đ)
Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $2ab+6bc+2ac=7abc$. 
Tìm GTNN của $C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}$

Giải:

Vì $a,b,c>0$ nên từ gt $\Rightarrow \frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7$

Ta có 

$C=\frac{4}{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}+\frac{9}{\frac{1}{c}+\frac{4}a{}}+\frac{4}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}$
Áp dụng BĐT S-vác, ta có:

$C\geq \frac{(2+3+2)^2}{\frac{2}{b}+\frac{6}{a}+\frac{2}{c}}=\frac{49}{7}=7$

Vậy Min $C=7$. Dấu "=" khi $a=2b=2c$ $\Leftrightarrow a=2;b=c=1$

P/s: Sặc, nhìn lên trên mới thấy ông canhoang làm mất rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 30-05-2014 - 00:31

[I Am Gifted So Are You]

Ta có $\frac{4ab}{a+2b}+\frac{a+2b}{ab}\geq 4$
$\frac{9ac}{a+4c}+\frac{a+4c}{ac}\geq 6$     $\frac{4bc}{b+c}+\frac{b+c}{bc}\geq 4$

$\Rightarrow C+7\geq 14\Rightarrow C\geq 7$
Dấu "=" xảy ra khi a=2,b=c=1

[I Am Gifted So Are You]

Mình thi đề này đây nè nhưng hận nỗi quên ko kẻ thêm đường phụ vào  hình mà trong bài làm có nên trừ 1đ

hu hu

[Love Math forever]

ĐỀ + ĐÁP ÁN CHI TIẾT:

File gửi kèm

•  Hải Dương 2014.pdf   172.7K   1312 Số lần tải