Chủ đề này có 1 trả lời

[19kvh97]

CMR với mọi tam giác $ABC$ ta luôn có 

$p^2\geq ab.\sin^2 A +bc.\sin^2 B+ac.\sin^2 C$ với $p$ là nửa chu vi của tam giác

[Juliel]

CMR với mọi tam giác $ABC$ ta luôn có 

$p^2\geq ab.\sin^2 A +bc.\sin^2 B+ac.\sin^2 C$ với $p$ là nửa chu vi của tam giác

Sử dụng công thức hạ bậc, ta cần chứng minh :

$$\dfrac{(a+b+c)^2}{4}\geq \dfrac{ab(1-cos2A)+bc(1-cos2B)+ca(1-cos2C)}{2}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq -2ab.cos2A-2bc.cos2B-2ca.cos2C\Leftrightarrow a^2+2a(b.cos2A+2c.cos2C)+b^2+c^2+2bc.cos2B\geq 0$$

Đặt $f(a)=a^2+2a(b.cos2A+2c.cos2C)+b^2+c^2+2bc.cos2B$

Đây là một tam thức bậc hai theo ẩn $a$ có :

$$\Delta '=(b.cos2A+c.cos2C)^2-(b^2+c^2+2bc.cosB)=b^2(cos^22A-1)+c^2(cos^22C-1)+2bc(cos2A.cos2C-cos2B)=-b^2.sin^22A-c^2.sin^22C+2bc(cos2A.cos2C-cos(2A+2C))=-b^2.sin^22A-c^2.sin^22C+2bc.sin2A.sin2C=-(b.sin2A-c.sin2C)^2\leq 0$$

Đồng thời hệ số bậc cao nhất luôn dương nên $f\left ( a \right )\geq 0$.

Ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 22-03-2014 - 17:33