Chủ đề này có 1 trả lời

[votanphu]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng:

$\frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leq xyz$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votanphu: 22-03-2014 - 21:46

[lahantaithe99]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng:

$\frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leq xyz$

 

$x+y+z=xyz\Leftrightarrow x(x+y+z)+yz=yz(x^2+1)\Leftrightarrow x^2+1=\frac{(x+y)(x+z)}{yz}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}=\sum \frac{1+\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{yz}}}{x}$

 

$\leqslant \sum \frac{1+\frac{1}{2}(\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z})}{x}=\sum \frac{1}{x}+\frac{1}{2}\sum(\frac{x+y}{xy}+\frac{x+z}{xz})$

 

$=\sum \frac{1}{x}+\sum \frac{x+y}{xy}=\frac{3(xy+yz+xz)}{xyz}\leqslant \frac{(x+y+z)^2}{xyz}=xyz$