Chủ đề này có 6 trả lời

[mathlike8]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                        KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

        THANH HÓA                                                                      Năm học 2013-2014

                                                                                                 LỚP 12 THPT

                                                                                                Ngày thi 20/03/2014

                                                                                         Thời gian làm bài:180 phút

Câu I:Cho hàm số y=$2x^{3}-3mx^{2}+(m-1)x+1$ (1) với đồ thị $(C_{m})$ (m$\in$R)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=1.

2)Tìm m để đường thẳng y=2x+1 cắt đồ thị $(C_{m})$ tại 3 điểm phân biệt A,B,C sao cho C(0;1) nằm giữa A và B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng $\sqrt{55}$.

Câu II:

1. Giải phương trình        $\frac{(cosx+1)(sin2x-sinx-cosx-2)}{sinx(1-2cosx)}=1$

2. Giải hệ phương trình:

                 $\left\{\begin{matrix}5+16.4^{x^2-2y}=(5+16^{x^2-2y}).7^{2y-x^2+2} & \\ x^2+17x+10y+17=2(x^2+4)\sqrt{4y+11} & \end{matrix}\right.$

Câu III:

1. Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức:

  P=$\frac{8a+3b+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc})}{1+(a+b+c)^2}$

2.Tìm các giá trị thực của m để hệ bất pt $\left\{\begin{matrix}log_{2}(x+y)\leq 0 & \\ x+y+\sqrt{2xy+m}\geq 1 & \end{matrix}\right.$ có nghiệm thực duy nhất.

Câu IV:

1. Tìm tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt 3 chữ số khác nhau.

2. Trong mp tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M,N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và BC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM. Tìm tọa độ các đỉnh của hình cuông ABCD biết N($-1;-\frac{5}{2}$) , H$(-1;0)$ và điểm D nằm trên dường thẳng (d):x-y-4=0

Câu V:

1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, AD=b, SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA=2a. Gọi M là điểm nằm trên SA sao cho AM=x (0<x<2a). Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt bởi mp(MBC). Tìm x theo a để mp(MBC) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y-z+2=0 và hai điểm A(3;4;1), B(7;-4;-3). Tìm điểm M trên (P) sao cho tam giác ABM vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất.

[Lanh Lanh]

Không ai giải vậy?

[Love Inequalities]

Câu III

Giả sử $a=mb=nc$

Cần có $8a+3b+4\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc} \right )\leq x\left ( a+b+c \right )$ với $m,n,x>0$

$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc}=\sqrt{\frac{amb}{m}}+\sqrt{\frac{mbnc}{mn}}+\sqrt[3]{\frac{ambnc}{mn}}\leq \frac{a+mb}{2\sqrt{m}}+\frac{mb+nc}{2\sqrt{mn}}+\frac{a+mb+nc}{3\sqrt[3]{mn}}$

=>$8a+3b+4\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc} \right )\leq 8a+3b+ 2.\frac{a+mb}{\sqrt{m}}+2.\frac{mb+nc}{\sqrt{mn}}+4.\frac{a+mb+nc}{3\sqrt[3]{mn}}$

=$\left ( \frac{2}{\sqrt{m}}+\frac{4}{3\sqrt[3]{mn}}+8 \right )a+\left ( 2\sqrt{m}+2\sqrt{\frac{m}{n}}+4\frac{m}{3\sqrt[3]{mn}}+3 \right )b+\left ( 2\sqrt{\frac{n}{m}}+4\frac{n}{3\sqrt[3]{mn}} \right )c$

=>$\frac{2}{\sqrt{m}}+\frac{4}{3\sqrt[3]{mn}}+8 =2\sqrt{m}+2\sqrt{\frac{m}{n}}+4\frac{m}{3\sqrt[3]{mn}}+3=2\sqrt{\frac{n}{m}}+4\frac{n}{3\sqrt[3]{mn}}$ (*)

Giải phương trình này rất phức tạp. Mình chỉ tìm các cặp nghiệm nguyên nào mà $\sqrt{m}, \sqrt{mn}, \sqrt[3]{mn}$ là các số nguyên

Tìm ra $m=4, n=16=>x=\frac{28}{3}$ thỏa mãn điều kiện (*)

=>$8a+3b+4\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc} \right )\leq 8a+3b+4.\frac{a+4b}{4}+4.\frac{4b+16c}{16}+4.\frac{a+4b+16c}{12}=\frac{28}{3}\left ( a+b+c \right )$

Đặt $t=a+b+c$ với $t>0$

Xét $f\left ( t \right )=\frac{t}{1+t^{2}}$ trên $\left ( 0;+\infty  \right )$

$f'\left ( t \right )=\frac{1-t^{2}}{\left ( 1+t^{2} \right )^{2}}=0<=>t=1$

Lập bảng biến thiên ra thấy $f\left ( t \right )\leq f\left ( 1 \right )=\frac{1}{2}$

=>$P=\frac{28}{3}.f\left ( t \right )\leq \frac{28}{3}.f\left ( 1 \right )=\frac{14}{3}$

Vậy GTLN của $P$ là $\frac{14}{3}$ khi $t=1$ hay $\left ( a;b;c \right )=\left ( \frac{16}{21};\frac{4}{21};\frac{1}{21} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Love Inequalities: 17-09-2014 - 15:43

[ChiLanA0K48]

2. Trong mp tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M,N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và BC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM. Tìm tọa độ các đỉnh của hình cuông ABCD biết N($-1;-\frac{5}{2}$) , H$(-1;0)$ và điểm D nằm trên dường thẳng (d):$x-y-4=0$

 

Dễ dàng tính được $HN=\frac{5}{2}$

$\Rightarrow BC=2HN=5$

$\Rightarrow ND=\sqrt{\left ( 5 \right )^{2}+\left ( \frac{5}{2} \right )^{2}}=\frac{5\sqrt{5}}{2}$

Gọi tọa độ điểm $D$ là $D\left ( x_{D};y_{D} \right )$ 

$\Rightarrow DN=\sqrt{\left ( x_{D}+1 \right )^{2}+\left ( y_{D}+\frac{5}{2} \right )^{2}}=\frac{5\sqrt{5}}{2}$

Mà $D$ thuộc đường thẳng $d: x-y-4=0$

$\Rightarrow x_{D}=y_{D}+4$

$\Rightarrow (y_{D}+5)^{2}+\left ( y_{D}+\frac{5}{2} \right )^{2}=\frac{125}{4}$

$\Rightarrow y_{D}=\frac{-15}{2}$; $x_{D}=\frac{-7}{2}$ hoặc $y_{D}=0$; $x_{D}=4$

Xét các trường hợp của $D$

Với mỗi trường hợp:

Viết được phương trình đường thẳng $AD$  là đường thẳng qua $D$ và cách $N$ một khoảng bằng 5

Từ đó viết được phương trình các đường thẳng các cạnh của hình vuông suy ra tọa độ đỉnh hình vuông

[baduong1998]

Câu IV:

1. Tìm tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt 3 chữ số khác nhau.                      

         

Câu này ai làm chưa vậy. Có phải kết quả là :25200/59049

Mong bác nào giải giúp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baduong1998: 13-11-2014 - 16:25

[kienthuctoanhocvn]

 

Câu IV:

1. Tìm tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt 3 chữ số khác nhau.                      

         

Câu này ai làm chưa vậy. Có phải kết quả là :25200/59049

Mong bác nào giải giúp.

 

Đáp án của mình là 20160/59049

[Longtunhientoan2k]

Câu III

Giả sử $a=mb=nc$

Cần có $8a+3b+4\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc} \right )\leq x\left ( a+b+c \right )$ với $m,n,x>0$

$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc}=\sqrt{\frac{amb}{m}}+\sqrt{\frac{mbnc}{mn}}+\sqrt[3]{\frac{ambnc}{mn}}\leq \frac{a+mb}{2\sqrt{m}}+\frac{mb+nc}{2\sqrt{mn}}+\frac{a+mb+nc}{3\sqrt[3]{mn}}$

=>$8a+3b+4\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc} \right )\leq 8a+3b+ 2.\frac{a+mb}{\sqrt{m}}+2.\frac{mb+nc}{\sqrt{mn}}+4.\frac{a+mb+nc}{3\sqrt[3]{mn}}$

=$\left ( \frac{2}{\sqrt{m}}+\frac{4}{3\sqrt[3]{mn}}+8 \right )a+\left ( 2\sqrt{m}+2\sqrt{\frac{m}{n}}+4\frac{m}{3\sqrt[3]{mn}}+3 \right )b+\left ( 2\sqrt{\frac{n}{m}}+4\frac{n}{3\sqrt[3]{mn}} \right )c$

=>$\frac{2}{\sqrt{m}}+\frac{4}{3\sqrt[3]{mn}}+8 =2\sqrt{m}+2\sqrt{\frac{m}{n}}+4\frac{m}{3\sqrt[3]{mn}}+3=2\sqrt{\frac{n}{m}}+4\frac{n}{3\sqrt[3]{mn}}$ (*)

Giải phương trình này rất phức tạp. Mình chỉ tìm các cặp nghiệm nguyên nào mà $\sqrt{m}, \sqrt{mn}, \sqrt[3]{mn}$ là các số nguyên

Tìm ra $m=4, n=16=>x=\frac{28}{3}$ thỏa mãn điều kiện (*)

=>$8a+3b+4\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc} \right )\leq 8a+3b+4.\frac{a+4b}{4}+4.\frac{4b+16c}{16}+4.\frac{a+4b+16c}{12}=\frac{28}{3}\left ( a+b+c \right )$

Đặt $t=a+b+c$ với $t>0$

Xét $f\left ( t \right )=\frac{t}{1+t^{2}}$ trên $\left ( 0;+\infty  \right )$

$f'\left ( t \right )=\frac{1-t^{2}}{\left ( 1+t^{2} \right )^{2}}=0<=>t=1$

Lập bảng biến thiên ra thấy $f\left ( t \right )\leq f\left ( 1 \right )=\frac{1}{2}$

=>$P=\frac{28}{3}.f\left ( t \right )\leq \frac{28}{3}.f\left ( 1 \right )=\frac{14}{3}$

Vậy GTLN của $P$ là $\frac{14}{3}$ khi $t=1$ hay $\left ( a;b;c \right )=\left ( \frac{16}{21};\frac{4}{21};\frac{1}{21} \right )$

Liệu có cách nào ngắn gọn hơn?