Chủ đề này có 1 trả lời

[duongluan1998]

Cho x+y+z =1

Tìm giá trị lớn nhất của $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$

[RainThunde]

Nếu không có giả thiết $x,y,z\geq0$ thì ta có thể chọn $x$ là một số âm nhỏ tùy ý, $y=1-x$ và $z=0$. Khi đó biểu thức $x^2y+y^2z+z^2x$ không có giá trị lớn nhất.

 

Đây là lời giải cho trường hợp $x,y,z\geq0$

Giả sử $x = max\{x,y,z\}$. Ta có:

$P=x^2y+y^2z+z^2x \leq x^2y+xyz+\frac{1}{2}zx^2+\frac{1}{2}z^2x = x\left(x+z\right)\left(y+\frac{z}{2}\right)$

Theo AM-GM:

$P \leq 4\left(\frac{\frac{x}{2}+\frac{x+z}{2}+y+\frac{z}{2}}{3}\right)^3=\frac{4}{27}$

Vậy GTLN của $x^2y+y^2z+z^2x$ là $\frac{4}{27}$ $\Leftrightarrow$ $x = \frac{2}{3}$, $y = \frac{1}{3}$, $z = 0$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RainThunde: 31-03-2014 - 01:06