Chủ đề này có 1 trả lời

[Simpson Joe Donald]

cho tam giác ABC, đường phân giác AD, trung tuyến AM. QUa I thuộc đoạn thẳng AD, kẽ IH vuông góc vs AB, IK vuông góc vs AC. Gọi N là giao điểm HK và AM. C/m: $IN \perp BC$

[Johan Liebert]

 

Kẻ $BE // HK$,$EF // AM$, $BQ // AC$. Gọi giao điểm IN và BC là P (trên hình mình vẽ nhầm EF // AD)

 

Ta có: $\widehat{BQA}= \widehat{QAC}$ (2 góc ở vị trí so le trong)

 

$\widehat{QAC}=\widehat{QAB}$(AQ là tia phân giác)

 

$\rightarrow \widehat{BQA}=\widehat{QAB}$

 

$\rightarrow $ tam giác ABQ cân tại B

 

Tứ giác $AHIK$ nội tiếp $\rightarrow \widehat{KHI}=\widehat{IAK}=\widehat{QAB}$

 

Mà tam giác $IHK$ cân tại I

 

$\rightarrow \Delta BAQ \sim \Delta IHK$

 

Theo định lí Ta let ta có:

 

$\dfrac{HN}{NK}=\dfrac{BL}{LE}=\dfrac{BM}{MF}=\dfrac{CM}{MF}$

$=\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AC}{AB}$

 

Lại có:

 

$\dfrac{AD}{DQ}=\dfrac{CD}{DB}=\dfrac{AC}{AB}$

 

$\rightarrow \dfrac{AD}{DQ}=\dfrac{HN}{NK} \rightarrow \dfrac{DQ}{AQ}=\dfrac{NK}{HK}$

 

$\rightarrow \dfrac{DQ}{NK}=\dfrac{AQ}{HK}$

 

Lại có $ \Delta BAQ \sim \Delta IHK \rightarrow \dfrac{BQ}{IK}=\dfrac{AQ}{HK}$

 

$\rightarrow \Delta BDQ \sim \Delta INK(c-g-c)$

 

$\rightarrow \widehat{NIK}=\widehat{DBQ}$

 

Lại có $\widehat{DBQ}=\widehat{DCA}$

 

$\rightarrow \widehat{NIK}=\widehat{DCA} \rightarrow$ tứ giác IKCP nội tiếp

 

$\rightarrow \widehat{IPC}=90^o \rightarrow dpcm$