SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THPT
HÀ TĨNH NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN: TOÁN LỚP 10
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 180 phút
(Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu)
Câu 1. a) Giải phương trình $8x^2-x-4=3\sqrt{2x-1}$
b) Gọi $x_0$ là một nghiệm của phương trình $x^4+2x^2+2ax+a^2+6a+1=0$
Tìm các giá trị của tham số $a$ để $x_0$ đạt giá trị nhỏ nhất? giá trị lớn nhất?
Câu 2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-2}-\sqrt{y-1}=27-x^3\\ (x-2)^4+1=y \end{matrix}\right.$
Câu 3. Giả sử $f_1(x)=x^2+a_1x+b_1$ và $f_2(x)=x^2+a_2x+b_2$ là hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên, có nghiệm chung là $a$. Chứng minh rằng nếu $a$ không phải là hệ số nguyên thì tam thức bậc hai sau luôn có nghiệm thực:
$f(x)=x^2+(a_1+a_2)x+b_1+b_2$
Câu 4. a) Tam giác $ABC$ có $BC=a, CA=b$ và $\widehat{ACB}=60^o$. Các điểm $M, N$ được xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{NC}\\ \overrightarrow{NB}+2\overrightarrow{NC}=-2\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB} \end{matrix}\right.$
Tìm hệ thức liên hệ giữa $a$ và $b$ để $MC$ và $NA$ vuông góc với nhau
b) Tam giác $ABC$ có các cạnh $a,b,c$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp lần lượt là $R,r$ thỏa mãn đẳng thức:
$$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{2r}{R}=4$$
Chứng minh tam giác $ABC$ đều
Câu 5. Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3xyz$
Chứng minh $\frac{1}{x^2+y^2z^2+1}+\frac{1}{y^2+x^2z^2+1}+\frac{1}{z^2+2x^2y^2+1}\leq \frac{3}{4}$
---------------------------------------- HẾT -----------------------------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không được giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .................................................... Số báo danh: ..........................
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 25-03-2014 - 16:55