Chủ đề này có 1 trả lời

[Vu Thuy Linh]

Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng:

$\frac{a-1}{c}+\frac{b-1}{a}+\frac{c-1}{b}\geq 0$

[lahantaithe99]

Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng:

$\frac{a-1}{c}+\frac{b-1}{a}+\frac{c-1}{b}\geq 0$

 

Đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$

 

Khi đó

 

$\sum \frac{a-1}{c}=\sum \frac{x^2-xy}{yz}=\frac{x^3+y^3+z^3-(x^2y+y^2z+z^2x)}{xyz}$

 

Ta có

 

$\frac{x^3+y^3+z^3-(x^2y+y^2z+z^2x)}{xyz}\geqslant 0\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\geqslant x^2y+y^2z+z^2x$

 

BĐT này luôn đúng vì ta có

 

$\frac{x^3+x^3+y^3}{3}\geqslant x^2y;\frac{y^3+y^3+z^3}{3}\geqslant y^2z;\frac{z^3+z^3+x^3}{3}\geqslant z^2x$