Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh: $\sqrt{S_{a}}+\sqrt{S_{b}}+\sqrt{S_{c}}\leq \frac{3}{2}\sqrt{S}$

p.ha

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
votanphu

votanphu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

Cho tam íac ABC. Trên các cạnh BC,CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A', B' và C'. Gọi $S_{a}$,S_{b},S_{c} và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB'C', BC'A', CA'B' và ABC. Chứng minh bất đẳng thức: $\sqrt{S_{a}}+\sqrt{S_{b}}+\sqrt{S_{c}}\leq \frac{3}{2}\sqrt{S}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?



#2
Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết

Cho tam íac ABC. Trên các cạnh BC,CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A', B' và C'. Gọi $S_{a}$,S_{b},S_{c} và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB'C', BC'A', CA'B' và ABC. Chứng minh bất đẳng thức: $\sqrt{S_{a}}+\sqrt{S_{b}}+\sqrt{S_{c}}\leq \frac{3}{2}\sqrt{S}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

 

Ta có $2S_a=AC'.AB'.sinA$ và $2S=AB.AC.sinA$

 

$\Rightarrow \sqrt{\frac{S_a}{S}}=\sqrt{\frac{AC'.AB'}{AB.AC}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{AC'}{AB}+\frac{AB'}{AC} \right )$

 

Tương tự: $\sqrt{\frac{S_b}{S}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{BA'}{BC}+\frac{BC'}{BA} \right )$ ; $\sqrt{\frac{S_c}{S}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{CB'}{CA}+\frac{CA'}{CB} \right )$

 

Do đó: $\sqrt{\frac{S_a}{S}}+\sqrt{\frac{S_b}{S}}+\sqrt{\frac{S_c}{S}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{AC'}{AB}+\frac{BC'}{BA}+\frac{BA'}{BC}+\frac{CA'}{CB}+\frac{CB'}{CA}+\frac{AB'}{AC} \right )=\frac{3}{2}$ ($đpcm$)

 

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi:

 

$\left\{\begin{matrix} \frac{AC'}{AB}=\frac{AB'}{AC}\\ \frac{BA'}{BC}=\frac{BC'}{BA}\\ \frac{CB'}{CA}=\frac{CA'}{CB} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} C'B'//BC\\ A'C'//CA\\ B'A'//AB \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow A',B',C'$ là trung điểm của $BC,CA,AB$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: p.ha

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh