Cho tam íac ABC. Trên các cạnh BC,CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A', B' và C'. Gọi $S_{a}$,S_{b},S_{c} và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB'C', BC'A', CA'B' và ABC. Chứng minh bất đẳng thức: $\sqrt{S_{a}}+\sqrt{S_{b}}+\sqrt{S_{c}}\leq \frac{3}{2}\sqrt{S}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
#1
Đã gửi 25-03-2014 - 21:37
#2
Đã gửi 25-03-2014 - 22:16
Cho tam íac ABC. Trên các cạnh BC,CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A', B' và C'. Gọi $S_{a}$,S_{b},S_{c} và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB'C', BC'A', CA'B' và ABC. Chứng minh bất đẳng thức: $\sqrt{S_{a}}+\sqrt{S_{b}}+\sqrt{S_{c}}\leq \frac{3}{2}\sqrt{S}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Ta có $2S_a=AC'.AB'.sinA$ và $2S=AB.AC.sinA$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{S_a}{S}}=\sqrt{\frac{AC'.AB'}{AB.AC}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{AC'}{AB}+\frac{AB'}{AC} \right )$
Tương tự: $\sqrt{\frac{S_b}{S}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{BA'}{BC}+\frac{BC'}{BA} \right )$ ; $\sqrt{\frac{S_c}{S}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{CB'}{CA}+\frac{CA'}{CB} \right )$
Do đó: $\sqrt{\frac{S_a}{S}}+\sqrt{\frac{S_b}{S}}+\sqrt{\frac{S_c}{S}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{AC'}{AB}+\frac{BC'}{BA}+\frac{BA'}{BC}+\frac{CA'}{CB}+\frac{CB'}{CA}+\frac{AB'}{AC} \right )=\frac{3}{2}$ ($đpcm$)
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{\begin{matrix} \frac{AC'}{AB}=\frac{AB'}{AC}\\ \frac{BA'}{BC}=\frac{BC'}{BA}\\ \frac{CB'}{CA}=\frac{CA'}{CB} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} C'B'//BC\\ A'C'//CA\\ B'A'//AB \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow A',B',C'$ là trung điểm của $BC,CA,AB$
- Coppy dera yêu thích
Facebook: https://www.facebook.com/ntn3004
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: p.ha
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN: $P=a^{2}+2b^{2}+c^{2}$Bắt đầu bởi votanphu, 17-01-2015 p.ha |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
$\left\{\begin{matrix} x^{4}-4x^{2}y+3x^{2}+y^{2}=0\\ x^{2}-2xy+x+y=0 \end{matrix}\right.$Bắt đầu bởi votanphu, 07-01-2015 p.ha |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm cực trị bằng phương pháp hàm số: Tìm GTNN,GTLN của: P=$x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}+3x^{2}y^{2}$Bắt đầu bởi votanphu, 28-07-2014 p.ha |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
giải phương trình: $x^{3}-3x+1=\sqrt{8-3x^{2}}$Bắt đầu bởi votanphu, 08-07-2014 p.ha |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh rằng: HK vuông góc IJBắt đầu bởi votanphu, 29-03-2014 p.ha |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh