Chủ đề này có 1 trả lời

[Enzan]

Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;0;0), B(1;1;2) và mp (P) x-y+z+1=0. Viết ptmp (Q) đi qua A và B và tạo với (P) một góc nhỏ nhất.

[25 minutes]

Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;0;0), B(1;1;2) và mp (P) x-y+z+1=0. Viết ptmp (Q) đi qua A và B và tạo với (P) một góc nhỏ nhất.

Ta có $\overrightarrow{u}_{AB}(0,1,2),\overrightarrow{n}(P)(1,-1,1)$

Gọi vtpt của $(Q)$ là $\overrightarrow{n}(a,b,c)\Rightarrow a.0+b.1+c.2=0\Rightarrow b+2c=0$

Gọi $\alpha$ là góc giữa $2$ mặt phẳng, khi đó $\alpha$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow \cos \alpha$ lớn nhất

Ta có $\cos \alpha =\frac{\left | a-b+c \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{\left | a+3c \right |}{\sqrt{a^2+5c^2}.\sqrt{3}}$

Áp dụng Caichy-Schwarzt ta có $\left | a+3c \right |=\left | 1.a+\frac{3}{\sqrt{5}.\sqrt{5b}} \right |\leqslant \frac{\sqrt{70}}{5}(a^2+5c^2)$

      $\Rightarrow \cos \alpha \leqslant \frac{\sqrt{210}}{15}$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} b+2c=0\\a=\frac{5c}{3} \end{matrix}\right.$

Chọn $a=1$, khi đó $(Q):x-\frac{6y}{5}+\frac{3z}{5}-1=0$