Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

0,99... = 1 ?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 129 trả lời

#21 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-05-2009 - 07:45

Đúng như Trường giải thích, vấn đề khiến mọi người băn khoăn chính là việc mọi người chưa thống nhất được định nghĩa của số $L = 0.999999999........... $ :)

Thông thường thì người ta định nghĩa $L$ chính bằng giới hạn của cái dãy $L_n$ (hay $u_n$) mà L_Euler đã viết ở trên, còn bản thân các phần tử của dãy thì đều không phải là $L$, chính vì thế nên đoạn khúc mắc epsilon mà mọi người đã trình bày là không nói lên điều gì cả. Hiển nhiên ta tính được $\lim_{n\to \infty}{L_n} = 1$. Do đó với cách định nghĩa này thì $L = 1$

Cũng như vậy, bây giờ mọi người thử tính giá trị của $M = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + .... $ xem sao, mọi việc đã rõ ràng hơn tí nào chưa nhỉ ;)

#22 L_Euler

L_Euler

    Leonhard Euler

  • Hiệp sỹ
  • 938 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:France

Đã gửi 11-05-2009 - 17:14

Em nhớ không nhầm thì trên 4rum cũgn có 1 topic tranh luận khá gay gắt về cái vấn đề 0.99999...........=1 rồi, nhưng em không biết nó ở chỗ nào nữa.
Có lẽ ta chỉ nên tạm hiểu 0.9999999......... là 1 cách biểu diễn số 1 thôi, cũgn giống như số e có nhiều cách biểu diễn như ${\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n $ hay $\sum\limits_{n = 0}^\infty {\dfrac{1}{{n!}}} $ vậy. :)

#23 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-05-2009 - 20:15

1. Vấn đề ko phải là tạm hiểu thế này hay tạm hiểu thế kia, thông thường trong toán học hai định nghĩa có cách diễn đạt khác nhau chỉ có thể cùng tồn tại nếu chúng tương đương. Chẳng hạn khi đã định nghĩa $e = {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n $ thì nếu muốn viết $e = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\dfrac{1}{{n!}}} $ ta phải chứng minh được ${\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\dfrac{1}{{n!}}}$ trước đã

2. Trong trường hợp ở trên, quan trọng nhất là phải định nghĩa chính xác số $0.99999.......$ là gì, mọi sự tranh cãi sẽ chỉ từ định nghĩa này mà ra thôi, và nếu đã chấp nhận định nghĩa $0.99999... = \lim_{n \to \infty}{L_n}$ thì cũng phải chấp nhận $0.9999... = 1$ như một khẳng định duy nhất

3. Gì thì gì, toán học đâu phải chỉ là trò chơi của các ký hiệu :)

#24 T*genie*

T*genie*

    Đường xa nặng bóng ngựa lười...

  • Quản trị
  • 1157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Paris
  • Sở thích:Maths & Girls

Đã gửi 11-05-2009 - 22:18

1. Vấn đề ko phải là tạm hiểu thế này hay tạm hiểu thế kia, thông thường trong toán học hai định nghĩa có cách diễn đạt khác nhau chỉ có thể cùng tồn tại nếu chúng tương đương. Chẳng hạn khi đã định nghĩa $e = {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n $ thì nếu muốn viết $e = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\dfrac{1}{{n!}}} $ ta phải chứng minh được ${\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\dfrac{1}{{n!}}}$ trước đã

2. Trong trường hợp ở trên, quan trọng nhất là phải định nghĩa chính xác số $0.99999.......$ là gì, mọi sự tranh cãi sẽ chỉ từ định nghĩa này mà ra thôi, và nếu đã chấp nhận định nghĩa $0.99999... = \lim_{n \to \infty}{L_n}$ thì cũng phải chấp nhận $0.9999... = 1$ như một khẳng định duy nhất

3. Gì thì gì, toán học đâu phải chỉ là trò chơi của các ký hiệu :)

Các luận chứng toán học em không có gì phản đối, điều em lăn tăn chỉ là việc kết luận $0.9999...=1$ sẽ dẫn tới việc khẳng định $0.9999...$ là một số nguyên hay hẹp hơn là một số tự nhiên. Điều này sẽ kéo theo việc xây dựng lại các tập $N$ và $Z$.

#25 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-05-2009 - 07:07

Cụ thể việc kéo theo ấy như thế nào vậy Thạch :)

#26 T*genie*

T*genie*

    Đường xa nặng bóng ngựa lười...

  • Quản trị
  • 1157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Paris
  • Sở thích:Maths & Girls

Đã gửi 12-05-2009 - 08:02

Cụ thể việc kéo theo ấy như thế nào vậy Thạch ;)

Dạ ví dụ như là bây giờ ta phải định nghĩa "Trong toán học, số nguyên bao gồm các số tự nhiên dương $(0.999...,1,1.999...,2,2.999..., 3,...) $, các số đối của chúng $(-0.999...,-1,-1.999... ,-2,-2.999..., -3, ...)$ và số $0$ ..." :)

#27 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-05-2009 - 09:21

Thế thì khi đặt thêm các ký hiệu phân thức và căn thức ta phải định nghĩa lại $\mathb{N} = (0, 1, 2, \sqrt{4}, 4/2,... )$ à :)

#28 L_Euler

L_Euler

    Leonhard Euler

  • Hiệp sỹ
  • 938 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:France

Đã gửi 12-05-2009 - 15:59

So complex. ;) :)

#29 chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Darmstadt - Germany
  • Sở thích:Guitar, Bóng đá

Đã gửi 12-05-2009 - 19:48

Dạ ví dụ như là bây giờ ta phải định nghĩa "Trong toán học, số nguyên bao gồm các số tự nhiên dương $(0.999...,1,1.999...,2,2.999..., 3,...) $, các số đối của chúng $(-0.999...,-1,-1.999... ,-2,-2.999..., -3, ...)$ và số $0$ ..." :)


Như anh Khánh đã nói ấy, nếu nghĩ như em thì 2 và căn 4 khác nhau à. Số 0,999... được định nghĩa trong trường số thực nhưng giá trị của nó vẫn nguyên. Còn nếu cực đoan như em chỉ xét tập số nguyên, thì số 0,999... không tồn tại, vì khi này ta không có giới hạn nữa, vì không có lân cận của 1!
The only way to learn mathematics is to do mathematics

#30 thihoa_94

thihoa_94

    thành viên chuyên cần

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Quảng Ngãi

Đã gửi 12-05-2009 - 22:06

ta có $\dfrac{1}{9} =0,111111........$
$\dfrac{8}{9}=0,88888888....$
cộng vế theo vế ta được $ \dfrac{8+1}{9}= 0,99999...... $
vấn đề là $0,11111.... $biểu diễn dưới dạng phân số là $\dfrac{1}{9}$ vậy ai còn nhớ $0,99999.... $biểu diễn dưới dạng phân số như thế nào không?

BTH10T2LK


#31 inhtoan

inhtoan

    <^_^)

  • Thành viên
  • 964 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HN city

Đã gửi 12-05-2009 - 22:33

Ở một trang web nào đó đã đưa ra một cách chứng minh 0,9999=1 như sau:
$\begin{array}{l}
\dfrac{1}{3} = 0,3333...... \\
\dfrac{1}{3}.3 = 0,99999... \\
1 = 0,999..... \\
\end{array}$
Nhưng có người nói rằng:"từ định nghĩa sai số thì phải hiểu 1 vấn đề là từ trước đến nay chúng ta chỉ nói là $\dfrac{1}{3}$ xấp xỉ 0.3333.............. chứ chưa bao giờ bảo là $\dfrac{1}{3}= 0.3333333$.......... cái đó là sai lý thuyết 1 cách trầm trọng". Mọi người xem câu nói này có đúng không ???

#32 L_Euler

L_Euler

    Leonhard Euler

  • Hiệp sỹ
  • 938 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:France

Đã gửi 12-05-2009 - 22:52

ta có $\dfrac{1}{9} =0,111111........$
$\dfrac{8}{9}=0,88888888....$
cộng vế theo vế ta được $ \dfrac{8+1}{9}= 0,99999...... $
vấn đề là $0,11111.... $biểu diễn dưới dạng phân số là $\dfrac{1}{9}$ vậy ai còn nhớ $0,99999.... $biểu diễn dưới dạng phân số như thế nào không?

Lạ nhỉ ;), thế thì thì viết luôn $0.9999999999...........=9/9=1$ cho nhanh?

Em vẫn nghĩ 1 nó chhỉ là 1 cách biểu diễn số 0.9999999.......... chứu 0.9999999......... không bằng 1. :)

#33 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-05-2009 - 08:04

Cách chứng minh nhân lên chia xuống (mà bỏ qua định nghĩa số 0.99999.... ) ấy chỉ để qua mắt những ai chưa học các khái niệm số thực một cách có hệ thống thôi, nó đơn thuần là một trò chơi với các ký hiệu, không hơn, không kém. Tất nhiên dùng để giải trí thì được, để mà tin tưởng tuyệt đối thì rất không nên inhtoanthihoa_94:)

Anh nhận thấy thắc mắc của L_Euler quanh đi quẩn lại vẫn là ở chỗ em chấp nhận 0.999999....... như là 1 số có được từ việc lắp ráp các ký hiệu toán học đã biết vào với nhau (hình thức), mà không cần bất cứ định nghĩa chính xác nào về giá trị của nó (thực chất)

Sự dễ dãi này sẽ gặp khó khăn khi học lên các khái niệm sâu sắc hơn về giới hạn, chẳng hạn làm sao ta hiểu được giá trị của $2^{\sqrt{2}}$ được tính thế nào. Hoặc đơn giản hơn, nếu ký hiệu $M = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ....$ thì M có giá trị bằng bao nhiêu, em thử trình bày cho mọi người rõ xem sao

#34 phuchung

phuchung

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 422 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quốc Học Huế
  • Sở thích:Bóng đá, đá bóng, cờ vua, đọc truyện...

Đã gửi 13-05-2009 - 11:50

Sách 12 có bảo $2^{\sqrt{2}}$ được tính bằng cách xây dựng dãy $u_1=1, u_2=1.4, u_3=1.41, u_4=1.414 ... $ rồi tính $lim2^{u_n}$, còn M thì em chịu:)
Maths makes me happy

#35 T*genie*

T*genie*

    Đường xa nặng bóng ngựa lười...

  • Quản trị
  • 1157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Paris
  • Sở thích:Maths & Girls

Đã gửi 13-05-2009 - 22:33

Thế thì khi đặt thêm các ký hiệu phân thức và căn thức ta phải định nghĩa lại $\mathb{N} = (0, 1, 2, \sqrt{4}, 4/2,... )$ à :)

Anh Khánh ăn gian quá đi, phân thức và căn thức ra đời khi ta đã có tập số, ta không thể dùng căn thức và phân thức để xây dựng ngược lại tập số được. Nhưng mà ý anh thì em đã hiểu ;)

nếu ký hiệu $M = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ....$ thì M có giá trị bằng bao nhiêu


Cái này thì em nghĩ đáp án là mệnh đề xác định $M$ không có tính chân trị ;)

#36 quangtien84

quangtien84

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Âm nhạc, toán học và phụ nữ!

Đã gửi 25-05-2009 - 23:45

Hồi lớp 6, học bồi dưởng học sinh giỏi toán, mình đã được học cách đổi 1 số thập phần vô hạn tuần hoàn ra phân số.

Bản chất của số thập phân vô hạn tuần hoàn là từ phân số mà ra.

người ta đã chứng minh rằng 0,(9) = 1, nên không cần phải bàn cãi làm gì.

Người ta chứng minh như thế này nhé.

0,(9) = 3×0,(3) = 3×[1/3] = 1

Đơn giản vậy thôi mà phải cãi nhau làm gì cho mệt.
Các bạn hãy nhớ rằng, người ta biết đến và phát minh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn là từ phân số.

Mọi số thập phân vô hạn tuần đều thuộc số hữu tỉ ( có nghĩa là biểu diễn được dưới dạng phân số)
Còn số thập phân vô hạn không tuần hoàn thì không thể biểu diễn được bằng phân số và người ta gọi nó là số vô tỉ.

Các bạn có thể tìm lại 1 số sách số học ( sách nâng cao cho lớp 6 ) có nói rằng: số thập phân vô hạn tuần hoàn là số hữu tỉ Q
_QuangTien84_
××××××××××××××××××××
EConTech Javidic 2010 Final
EConTech Prodic 2010 Final
Lacviet Mtd 2010 EVA Full

××××××××××××××××××××

#37 L_Euler

L_Euler

    Leonhard Euler

  • Hiệp sỹ
  • 938 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:France

Đã gửi 26-05-2009 - 08:09

Em viết thế này không biết có ổn không:
$0.9999999........ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{9}{{10^k }}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{9}{{10}}\left[ {\left( {\dfrac{1}{{10}}} \right)^n - 1} \right]}}{{\dfrac{1}{{10}} - 1}} = 1$ :)

#38 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-05-2009 - 08:12

Chuẩn ko cần chỉnh :)

#39 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-05-2009 - 08:18

Cách chứng minh nhân lên chia xuống (mà bỏ qua định nghĩa số 0.99999.... ) ấy chỉ để qua mắt những ai chưa học các khái niệm số thực một cách có hệ thống thôi, nó đơn thuần là một trò chơi với các ký hiệu, không hơn, không kém. Tất nhiên dùng để giải trí thì được, để mà tin tưởng tuyệt đối thì rất không nên inhtoanthihoa_94:)

Mời bạn quangtien84 đọc lại ít nhất một phương pháp xây dựng số thực một cách chuẩn mực đi nhé, sách lớp 6 chỉ viết cho vui vậy thôi, trích dẫn ở đây ko ai chơi đâu, cách dãy số của Cauchy, cách lát cắt Dedekind, cách nào cũng được :D

#40 quangtien84

quangtien84

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Âm nhạc, toán học và phụ nữ!

Đã gửi 27-05-2009 - 03:45

Hồi lớp 6, học bồi dưởng học sinh giỏi toán, mình đã được học cách đổi 1 số thập phần vô hạn tuần hoàn ra phân số.

Bản chất của số thập phân vô hạn tuần hoàn là từ phân số mà ra.

người ta đã chứng minh rằng 0,(9) = 1, nên không cần phải bàn cãi làm gì.

Người ta chứng minh như thế này nhé.

0,(9) = 3×0,(3) = 3×[1/3] = 1

Đơn giản vậy thôi mà phải cãi nhau làm gì cho mệt.
Các bạn hãy nhớ rằng, người ta biết đến và phát minh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn là từ phân số.

Mọi số thập phân vô hạn tuần đều thuộc số hữu tỉ ( có nghĩa là biểu diễn được dưới dạng phân số)
Còn số thập phân vô hạn không tuần hoàn thì không thể biểu diễn được bằng phân số và người ta gọi nó là số vô tỉ.

Các bạn có thể tìm lại 1 số sách số học ( sách nâng cao cho lớp 6 ) có nói rằng: số thập phân vô hạn tuần hoàn là số hữu tỉ Q



Em viết thế này không biết có ổn không:
$0.9999999........ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{9}{{10^k }}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{9}{{10}}\left[ {\left( {\dfrac{1}{{10}}} \right)^n - 1} \right]}}{{\dfrac{1}{{10}} - 1}} = 1$ :D


Mời bạn quangtien84 đọc lại ít nhất một phương pháp xây dựng số thực một cách chuẩn mực đi nhé, sách lớp 6 chỉ viết cho vui vậy thôi, trích dẫn ở đây ko ai chơi đâu, cách dãy số của Cauchy, cách lát cắt Dedekind, cách nào cũng được :D


Theo mình nghĩ, vấn đề này đơn giản và dùng phân số chứng minh như vậy là đủ.
Cần gì tới xây dựng số, tới giới hạn và biểu diện chuổi làm gì?

Chẳng lẽ bây giờ đi chứng minh 1/3 =0,(3) lại phải đi biểu diễn chuỗi nữa hay sao
Mình nghĩ không nên làm phức tạp hóa vấn đề, đây cũng là điểm yếu của toán học Việt Nam, hay phức tạp hóa những vấn đề có thể đơn giản hóa.

Nhưng dù sao, là trao đổi thảo luận của những người yêu toán thì càng nhiều cách, nhiều hướng tư duy thì càng phong phú và làm tăng thêm vẻ đẹp của toán học muôn màu, đồng ý với ý kiến của mình hông!

_QuangTien84_
××××××××××××××××××××
EConTech Javidic 2010 Final
EConTech Prodic 2010 Final
Lacviet Mtd 2010 EVA Full

××××××××××××××××××××




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh