Chủ đề này có 2 trả lời

[BlackZero]

Cho đa thức $f(x)=2x^2+x-2$

     Chứng minh răng

                               $f(f(x))-x\vdots g(x)=2x^2+2x-1$

[phathuy]

Bổ đề: Cho đa thức P(x) hệ số nguyên khác x thì $P\left( P\left( x \right) \right)-x\vdots P\left( x \right)-x$
Chứng minh. $P\left( P\left( x \right) \right)-x=P\left( P\left( x \right) \right)-P\left( x \right)+P\left( x \right)-x$ đến đây áp dụng tính chất quen thuộc của đa thức hệ số nguyên: “Cho P(x) là đa thức hệ số nguyên và hai số nguyên phân biệt a, b thì $P\left( a \right)-P\left( b \right)\vdots a-b$”. Suy ra $P\left( P\left( x \right) \right)-P\left( x \right)\vdots P\left( x \right)-x$. Vậy bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán, áp dụng bổ đề ta suy ra $P\left( P\left( x \right) \right)-x=\left( P\left( x \right)-x \right)Q\left( x \right)=2\left( {{x}^{2}}-1 \right)Q\left( x \right)$. Như vậy ta chỉ cần chứng minh $P\left( P\left( x \right) \right)-x=4\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( 2{{x}^{2}}+2x-1 \right)$ việc này quá dễ dàng vì $P\left( P\left( x \right) \right)-x$  là đa thức bậc 4 mà ta đã biết có 2 nghiệm là 1, -1.

Thực ra phần trên chỉ là làm ngoài nháp. Khi trình bày bài toán chỉ cần ghi $P\left( P\left( x \right) \right)-x=4\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( 2{{x}^{2}}+2x-1 \right)$ là xong.

Sau đây xin nêu phát biểu tổng quát của bổ đề trên: “Cho đa thức P(x) là đa thức hệ số nguyên khác x thì $P\left( P\left( ...P\left( x \right) \right) \right)-x\vdots P\left( x \right)-x$”. Việc chứng minh bổ đề này không khó, chỉ cần dùng quy nạp.

[BlackZero]

đại ý nhự vậy bạn

$f(f(x))-x=f(f(x))-f(x)+f(x)-x =2f^2(x)+f(x)-2-2x^2-x+2+f(x)-x =2(f^2(x)-x^2)+2(f(x)-x) =2(f(x)-x)(f(x)+x+1) =2(2x^2-2)(2x^2+2x-1)$

$\Rightarrow dpcm$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackZero: 08-05-2014 - 09:07