Chủ đề này có 2 trả lời

[donghaidhtt]

$\left\{\begin{matrix} \left | xyz \right |=e\\ \sqrt{(\ln x^2)^2+1}+\sqrt{(\ln y^2)^2+4}+\sqrt{(\ln z^2)^2+9}=m \end{matrix}\right.$

Tìm $m$ thuộc $R$ để hệ có nghiệm $(x,y,z)$

[donghaidhtt]

Bài này chưa ai làm nhỉ?

[nthoangcute]

$\left\{\begin{matrix} \left | xyz \right |=e\\ \sqrt{(\ln x^2)^2+1}+\sqrt{(\ln y^2)^2+4}+\sqrt{(\ln z^2)^2+9}=m \end{matrix}\right.$

Tìm $m$ thuộc $R$ để hệ có nghiệm $(x,y,z)$

 

Em chưa học $\ln$ nhưng thử làm xem ...

Đặt $a=\ln x, b=\ln y, c=\ln z$ với $a,b,c \geq 0$

PT(1) cho ta : $a+b+c=1$
PT(2) cho ta : $m=\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}$
Xét hàm $P=\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}$
$\dfrac{dP}{da}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}} \geq 0$ và dấu bằng sảy ra ở hữu hạn điểm
Suy ra $P_a$ đồng biến và liên tục trên $[0, +\infty )$
Tương tự với $P_b$ và $P_c$

Tóm lại là $\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}$ liên tục khi $a,b,c \geq 0$
Vậy điều kiện để hệ có nghiệm là :
$$\begin{matrix} \min \,\,\,\,\,\,P\\  a+b+c=1\\a,b,c \geq 0 \end{matrix}  \begin{matrix} \leq m \leq\\  \,\\ \, \end{matrix} \begin{matrix} \max \,\,\,\,\,\, P\\  a+b+c=1\\a,b,c \geq 0 \end{matrix} $$

a) Tìm min :
Ta có : $P \geq \sqrt{(a+b+c)^2+3^2}=\sqrt{10}$
b) Tìm max :
Ta có : $P=\sum \sqrt{a^2+1}= \sum \left (\sqrt{a^2+1}- \left ( \sqrt{2}-1 \right ) a-1  \right )+\sum \left ( \left ( \sqrt{2}-1 \right ) a+1 \right )\\=\sum \dfrac{2 \left ( \sqrt{2}-1 \right ) a \left (a-1  \right )}{\sqrt{a^2+1}+ \left ( \sqrt{2}-1 \right ) a+1 }+2+\sqrt{2} \leq 2+\sqrt{2}$

Vậy : $\sqrt{10} \leq m \leq 2+ \sqrt{2}$