Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 6 - Phương trình nghiệm nguyên, đồng dư, chia hết

mss 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 40 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 28-03-2014 - 19:35

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 28/3/2014, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.
 

I - Bạn cần biết:

1) Điều lệ giải đấu

2) Lịch thi đấu và tổng hợp kết qủa

 

II - Lưu ý

1) Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.


Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi LATEX trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

 

 
Để sử dụng chức năng xem trước, bạn click vào Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ và chọn Xem trước.

 

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

 

3) Thành viên diễn đàn không đăng kí thi đấu vẫn có thể giải bài, nhưng phải ghi rõ là: Mình không phải là toán thủ thi đấu

 

4) Sau trận 6, sẽ có 05 toán thủ ít điểm nhất bị loại. 


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 28-03-2014 - 20:01

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 28-03-2014 - 20:20

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

MSS30 canhhoang30011999

Thay $x=1,y= 2$ vào phương trình trên ta có

$\sqrt{2025.1^{2}+2012.1+3188}=2013.1-2011.2+2094$

$\Leftrightarrow 85= 85$(khẳng định đúng )

Vậy tồn tại cặp số nguyên $\left ( x,y \right )$ thỏa mãn phương trình đã cho $(x=1,y=2)$

 

    d = 9

    S = 17+ 9x3= 44


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 15:40


#4 Tran Nguyen Lan 1107

Tran Nguyen Lan 1107

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 THPT Phan Bội Châu TP Vinh Nghệ An

Đã gửi 28-03-2014 - 20:38

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

Có tồn tại, ví dụ x=1,y=2

Không biết cách này được không ạ

 

   Bạn nên trình bày cẩn thận không nên chỉ đánh giá tắt

    d = 0

    S =0


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 15:41


#5 phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 28-03-2014 - 20:55

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

SBD: MSS 48

Lời giải:

Dễ dàng nhận thấy với $x=1$ và $y=2$ thì 

$VT=\sqrt{2025+2012+3188}=85$

$VP=2013-2011.2+2094=85=VT$

Do đó $(x;y)=(1;2)$ là một nghiệm phương trình trên

Vậy tồn tại các cặp số nguyên $(x;y)$ thoả mãn phương trình trên

 

  d = 10

 S = 17+10.3= 47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 15:42


#6 Tran Nguyen Lan 1107

Tran Nguyen Lan 1107

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 THPT Phan Bội Châu TP Vinh Nghệ An

Đã gửi 28-03-2014 - 21:55

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

Em xin giải cách khác ạ:

Đặt a=2013x-2011y+2094 suy ra $2025x^{2}+2012x+3188=a^{2}$

<=>$(2025x)^{2}+2.2025x.1006+1006^{2}+3188.2025-1006^{2}-(45a)^{2}=0$

$(2025x+1006)^{2}-(45a)^{2}=-5443664$

Mà 45a=90585x-90495y+94230

Suy ra (2025x+1006-90585x+90495y-94230)(2025x+1006+90585x-90495y+94230)=-5443664

<=> (90495y-88560x-93224)(92610x-90495y+95236)=-5443664

Đặt 90495y-88560x-93224=u,92610x-90495y+95236=v

Nhận thấy u,v cùng tính chẵn lẻ mà tích chẵn suy ra u,v chẵn => y chẵn

=>    $u,v\equiv 6(mod 10)$

Do -5443664=$2^{4}.397.857$=-794.6856=-1714.3176

Với u=-794,v=6856 suy ra x=1,y=2 (thỏa mãn)

Với u=6856,v=-794 suy ra x=1,y=$\frac{4192}{2011}$ không thuộc Z

Với u=-1714,v=3176 suy ra $x=\frac{-11}{81}$ không thuộc Z

Với u=3176,v=-1714 suy ra $x=\frac{-11}{81}$ không thuộc Z 

Vậy chỉ có x=1, y=2 là nghiệm nguyên phương trình

   

 

     d =10

    S = 17+10.3 =47

  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 15:43


#7 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 28-03-2014 - 22:26

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

Giả sử tồn tại $(x;y)$ nguyên thoả mãn pt:

$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094\Leftrightarrow \sqrt{2025^2.x^2+2012.2025x+3188.2025}=45(2013x-2011y+2094)$

Do $x;y\in \mathbb{Z}\Rightarrow 45(2013x-2011y+2094)\in \mathbb{Z}\Rightarrow \sqrt{2025^2.x^2+2012.2025x+3188.2025}\in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow 2025^2.x^2+2012.2025x+3188.2025=t^2$ ($t\in \mathbb{N}$)

$\Leftrightarrow (2025x+1006)^2+5443664=t^2$

$\Leftrightarrow (2025x+1006)^2-t^2=-5443664$

$\Leftrightarrow (2025x+1006-t)(2025x+1006+t)=-5443664$

Do $x\in \mathbb{Z};t\in \mathbb{N}$; $2025x+1006-t<2025x+1006+t$; 

$5443664=2^4.857.397$

Vậy tìm được (x;y)=(1;2) nguyên.

  

 

   Đoạn này cần tìm x,t cho chi tiết không nên làm tắt

   d = 9

  S =17+ 9x3=44


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 15:46


#8 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 28-03-2014 - 22:42

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

 

Đặt $\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094=m$($m$ là số tự nhiên)

 

$\Rightarrow 2025x^2+2012x+3188=m^{2}$

$\Rightarrow 45^{2}x^2+2.1006x+3188=m^{2}$

$\Rightarrow (45^{2}x)^2+2.1006.45^{2}x+3188.45^{2}=(45m)^{2}$

$\Rightarrow (45^{2}x+1006)^2+5443664=(45m)^{2}$

$\Rightarrow (45m-45^{2}x-1006)(45m+45^{2}x+1006)=5443664=2^{4}.857.397$

 

Ta thấy $45m-45^{2}x-1006$ và $45m+45^{2}x+1006$ cùng tính chẵn lẻ ( vì tổng của chúng là chẵn)

Mà 5443664 là số chẵn nên $45m-45^{2}x-1006$ và $45m+45^{2}x+1006$ cùng chẵn.

 

Mặt #: $45m+45^{2}x+1006=45(m+45x+22)+16$ chia 45 dư 16

 và      $45m-45^{2}x-1006=45(m-45x-23)+29$    chia 45 dư 29

Suy ra: Ta chỉ phân tích các ước chẵn của $5443664$ mà các ước đó lần lượt chia 45 dư 16 và chia 45 dư 29.

 

Xét các ước chẵn theo cặp:

$(2.857;2^{3}.397);(2^{2}.857;2^{2}.397);(2^{3}.857;2.397);$

$(-2.857;-2^{3}.397);(-2^{2}.857;-2^{2}.397);(-2^{3}.857;-2.397)$

 

Thì chỉ thấy cặp thứ 3 và cặp thứ 6 thỏa mãn tính chất trên.

 

Xét 2 trường hợp: 

  • $45m+45^{2}x+1006=2^{3}.857$ và $45m-45^{2}x-1006=2.397$

cộng 2 vế trên lại $\Rightarrow m=85$. thay m lại vào pt tìm được $x=1,y=2$

  • $45m+45^{2}x+1006=-2^{3}.857$ và $45m-45^{2}x-1006=-2.397$

cộng 2 vế trên lại $\Rightarrow m=-85$(loại vì m là số tự nhiên)

 

Vậy tồn tại số nguyên $(x;y) =(1;2)$ thỏa mãn phương trình trên.

 

 

    Bài Làm Tốt

  d =10

 S = 17+10x3=47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 15:47

                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#9 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 28-03-2014 - 22:55

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

Bài trước sai 1 trường hợp, em xin được phép làm lại

 

Bài làm của MSS 52:

 

 

Đặt $\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094=m$($m$ là số tự nhiên)

 

$\Rightarrow 2025x^2+2012x+3188=m^{2}$

$\Rightarrow 45^{2}x^2+2.1006x+3188=m^{2}$

$\Rightarrow (45^{2}x)^2+2.1006.45^{2}x+3188.45^{2}=(45m)^{2}$

$\Rightarrow (45^{2}x+1006)^2+5443664=(45m)^{2}$

$\Rightarrow (45m-45^{2}x-1006)(45m+45^{2}x+1006)=5443664=2^{4}.857.397$

 

Ta thấy $45m-45^{2}x-1006$ và $45m+45^{2}x+1006$ cùng tính chẵn lẻ ( vì tổng của chúng là chẵn)

Mà $5443664$ là số chẵn nên $45m-45^{2}x-1006$ và $45m+45^{2}x+1006$ cùng chẵn.

       và $45m+45^{2}x+1006$ dương nên  $45m-45^{2}x-1006$ cũng dương

Mặt #: $45m+45^{2}x+1006=45(m+45x+22)+16$ chia 45 dư 16

 và      $45m-45^{2}x-1006=45(m-45x-23)+29$    chia 45 dư 29

Suy ra: Ta chỉ phân tích các ước chẵn của $5443664$ mà các ước đó lần lượt chia 45 dư 16 và chia 45 dư 29.

 

Xét các ước chẵn theo cặp:

$(2.857;2^{3}.397);(2^{2}.857;2^{2}.397);(2^{3}.857;2.397);$

 

Thì chỉ thấy cặp thứ 3 thỏa mãn tính chất trên.

   

$\Rightarrow$      $45m+45^{2}x+1006=2^{3}.857$ và $45m-45^{2}x-1006=2.397$

cộng 2 vế trên lại $\Rightarrow m=85$. thay m lại vào pt tìm được $x=1,y=2$

 

 

Vậy tồn tại số nguyên $(x;y) =(1;2)$ thỏa mãn phương trình trên.

 

  Điểm bên trên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 15:48

                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#10 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 28-03-2014 - 22:58

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

 

Bài dự thi trận 6: MSS 27

 

 

 

-----------------------------------------------------------

 

Nhận xét:

 

 

$\textrm{VP}=\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=\sqrt{\frac{(2025x+1006)^2}{2025}+\frac{5443664}{2025}}> 0\forall x$

 

 

 

Vì $(x,y)$ nguyên nên:

 

 

$\textrm{VT}=2013x-2011y+2094\in \mathbb{Z}$

 

 

Vậy:

 

 

$\textrm{VP}=\sqrt{2025x^2+2012x+3188}\in \mathbb{Z}$

 

 

Đặt:

 

 

$\textrm{VP}=\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=n$  $(n\in \mathbb{Z};n> 0)$

 

 

$\Leftrightarrow 2025x^2+2012x+3188=n^2$

 

 

$\Leftrightarrow 2025x^2+2012x+3188-n^2=0$

 

 

Nhân $45^{2}$ vào cả hai vế, nhóm lại ta được:

 

 

$\Leftrightarrow (45n)^2=[(45x)^2+1006]^2+5443664$

 

 

$\Leftrightarrow (45n)^2-[(45x)^2+1006]^2=5443664$

 

 

$\Leftrightarrow [45n-(45x)^2-1006][45n+(45x)^2+1006]=5443664$

 

 

Đến đây, ta có nhận xét:

 

 

$45n-(45x)^2-1006$ và $45n+(45x)^2+1006$ có cùng tính chẵn lẻ.

 

 

$\textrm{VP}=5445664$ chẵn

 

 

$45n$ và $(45x)^2 \equiv 0\textrm{(mod45)}$

 

 

$1006\equiv 16\textrm{(mod45)}$

 

 

Vậy $45n+(45x)^2+1006\equiv 16\textrm{(mod45)}$

 

 

$45n+(45x)^2+1006 >0$

 

 

Từ tất cả nhận xét trên, kết luận:

 

 

$45n-(45x)^2-1006$ và $45n+(45x)^2+1006$ là tích của $2$ số chẵn

 

 

 $45n-(45x)^2-1006$ và $45n+(45x)^2+1006$ $\in$ ước dương chẵn của $45$.

 

 

và $45n+(45x)^2+1006\equiv 16\textrm{(mod45)}$

 

Vậy trong các ước dương chẵn của $45$ chỉ có $2$ số thỏa : $6856;794$

 

Ta có hệ phương trình:

 

 

$\left\{\begin{matrix} 45n+(45x)^2+1006=6856 (1)\\ 45n-(45x)^2-1006=794 (2)\end{matrix}\right.$

 

 

Lấy $1$ trừ $2$, ta được:

 

 

$2.(45x)^2+2.1006=6062$

 

 

$\Leftrightarrow (45x)^2=2025\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm 1$

 

 

Thay $x=-1$ vào vế phải $\Rightarrow$ không phải số nguyên. Loại.

 

 

Dễ thấy $x=1$ nhận.

 

 

Với $x=1$, ta thay vào phương trình ban đầu, tìm được $y=2$ (nhận)

 

 

Kết luận: Có tồn tại cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn phương trình:

 

$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$

 

Đó là cặp số nguyên $(1;2)$

 

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$

 

 

   d =10

  $d_{mr}=10$

   S =17 +10x3 +10 =57


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 16:07

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#11 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 28-03-2014 - 23:01

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

 

 

Đặt $\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094=m$($m$ là số tự nhiên)

 

$\Rightarrow 2025x^2+2012x+3188=m^{2}$

$\Rightarrow 45^{2}x^2+2.1006x+3188=m^{2}$

$\Rightarrow (45^{2}x)^2+2.1006.45^{2}x+3188.45^{2}=(45m)^{2}$

$\Rightarrow (45^{2}x+1006)^2+5443664=(45m)^{2}$

$\Rightarrow (45m-45^{2}x-1006)(45m+45^{2}x+1006)=5443664=2^{4}.857.397$

 

Ta thấy $45m-45^{2}x-1006$ và $45m+45^{2}x+1006$ cùng tính chẵn lẻ ( vì tổng của chúng là chẵn) và cùng dấu 

Mà $5443664$ là số chẵn nên $45m-45^{2}x-1006$ và $45m+45^{2}x+1006$ cùng chẵn.

và $45m+45^{2}x+1006$ luôn dương nên  $45m-45^{2}x-1006$ cũng dương 

 

Mặt #: $45m+45^{2}x+1006=45(m+45x+22)+16$ chia 45 dư 16

 và      $45m-45^{2}x-1006=45(m-45x-23)+29$    chia 45 dư 29

Suy ra: Ta chỉ phân tích các ước chẵn của $5443664$ mà các ước đó lần lượt chia 45 dư 16 và chia 45 dư 29.

 

Xét các ước chẵn theo cặp:

$(2.857;2^{3}.397);(2^{2}.857;2^{2}.397);(2^{3}.857;2.397);$

 

Thì chỉ thấy cặp thứ thỏa mãn tính chất trên.

 

suy ra $$45m+45^{2}x+1006=2^{3}.857$$   và   $$45m-45^{2}x-1006=2.397$$

cộng 2 vế trên lại $\Rightarrow m=85$. thay m lại vào pt tìm được $x=1,y=2$

 

 

       d =10

       $d_{mr}=10$

        S =17 +10x3 +10  =57


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 15:53

                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#12 tranducmanh2308

tranducmanh2308

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A2k43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:xem phim,chơi bóng rổ, làm toán và lên FACE

Đã gửi 29-03-2014 - 00:00

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

$MSS34$

ta thấy xét x=1,y=2 thì

$VT=\sqrt{2025+2012+3188}=85$

$VP=2103-2011\times 2+2094=85$

nên $VP=VT$

Vậy tồn tại cặp sô nguyên (x,y) tm pt

 

Bạn nên làm chi tiết không nên mò mẫm

  d =8.5

 S =17+ 8.5x3 =42,5


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 15:51

:wub: >:) :wub: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:ĐÚNG THÌ LIKE :botay :like :botay SAI THÌ SỬA (SAI VẪN LIKE) :ph34r: @};- :ninja: :)) :blink: :P@@@


#13 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 29-03-2014 - 06:43

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

 

 

 

Đặt $\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094=m$($m$ là số tự nhiên)

 

$\Rightarrow 2025x^2+2012x+3188=m^{2}$

$\Rightarrow 45^{2}x^2+2.1006x+3188=m^{2}$

$\Rightarrow (45^{2}x)^2+2.1006.45^{2}x+3188.45^{2}=(45m)^{2}$

$\Rightarrow (45^{2}x+1006)^2+5443664=(45m)^{2}$

$\Rightarrow (45m-45^{2}x-1006)(45m+45^{2}x+1006)=5443664=2^{4}.857.397$

 

Ta thấy $45m-45^{2}x-1006$ và $45m+45^{2}x+1006$ cùng tính chẵn lẻ ( vì tổng của chúng là chẵn) và cùng dấu

Mà 5443664 là số chẵn nên $45m-45^{2}x-1006$ và $45m+45^{2}x+1006$ cùng chẵn.

 

Mặt #: $45m+45^{2}x+1006=45(m+45x+22)+16$ chia 45 dư 16

 và      $45m-45^{2}x-1006=45(m-45x-23)+29$    chia 45 dư 29

Suy ra: Ta chỉ phân tích các ước chẵn của $5443664$ mà các ước đó lần lượt chia 45 dư 16 và chia 45 dư 29.

 

Xét các ước chẵn theo cặp:

$(2.857;2^{3}.397);(2^{2}.857;2^{2}.397);(2^{3}.857;2.397);$

Thì chỉ thấy cặp thứ thỏa mãn tính chất trên.

         

        $\Rightarrow 45m+45^{2}x+1006=2^{3}.857$ và $45m-45^{2}x-1006=2.397$

cộng 2 vế trên lại $\Rightarrow m=85$. thay m lại vào pt tìm được $x^{2}=1$

 

$\Rightarrow x=\pm 1$

+Với $x=1$ . từ PT đầu $$\Rightarrow $\sqrt{2025.1^2+2012.1+3188}=2013.1-2011y+2094$$$\Rightarrow y=2$

+Với $x=-1$.Thay vào VT của  PT đầu $2025(-1)^2+2012(-1)+3188=3201$ không phải là số chính phương (loại)

 

Vậy tồn tại số nguyên $(x,y)=(1,2)$ thỏa mãn PT trên.

 

   Điểm bên trên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 15:51

                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#14 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 29-03-2014 - 11:34

MSS52

 

Mở rộng :

 

Giải phương trình nghiệm nguyên :

$$\sqrt{a^{2}x^{2}+2bx+c}=dx+ey+f$$ ($a,b,c,d,e,f $ là các số nguyên)

 

Bài làm:

 

Đặt $\sqrt{a^{2}x^{2}+2bx+c}=dx+ey+f=m$ ( m là số tự nhiên)

$\Rightarrow  a^{2}x^{2}+2bx+c=m^{2}$

$\Rightarrow  (a^{2}x)^{2}+2a^{2}x.b+a^{2}c=(am)^{2}$

$\Rightarrow (am+a^{2}x+b)(am-a^{2}x-b)=a^{2}c-b^{2}$

 

Giả sử $b\equiv n$(mod a) (n nguyên)

$\Rightarrow am+a^{2}x+b\equiv n$(mod a)

Chọn ước nguyên $t$ của $a^{2}c-b^{2}$ sao cho $t\equiv n$ (mod a)

 

Ta có hệ PT $am+a^{2}x+b=t$

                    $am-a^{2}x-b=\frac{a^{2}c-b^{2}}{t}$

 

Cộng 2 PT giải tìm được $m$, $x$ và $y$.

 

 


                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#15 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 29-03-2014 - 12:12

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094(*)$$ 

Đề của 

lenin1999

 

MSS54:

 

Giả sử tồn tại cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn (*)

 

Do x;y nguyên nên $2025x^2+2012x+3188$ và $2013x-2011y+2094$ cũng nguyên.

 

Kết hợp (*) $\Rightarrow 2025x^2+2012x+3188=m^2 (m \in Z)$

 

$\Rightarrow \sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094=|m|$

 

Hay $2013x-2011y=|m|-2094$(**)

 

Ta có $m^2-[(45x)^2+2012x+3188]=0 \\ \Leftrightarrow (45m)^2-[(45^2x)^2+45^2x.2012+3188.45^2]=0 \\ \Leftrightarrow (45m)^2- \Big[ [(45^2x)^2+2.45^2x.1006+1006^2]+5443664 \Big]=0 \\ \Leftrightarrow (45m)^2-(45^2x+1006)^2=5443664 \\ \Leftrightarrow [45m-(45^2x+1006)] . [45m+(45^2x+1006)]=5443664 (1)$

 

Do x; m nguyên nên $[45m-(45^2x+1006)]$ và $[45m+(45^2x+1006)]$ nguyên. (2)

 

Mà 5443664 $\vdots 2$ nên $[45m-(45^2x+1006)] . [45m+(45^2x+1006)] \vdots 2$

 

Xét tổng: $[45m-(45^2x+1006)]+[45m+(45^2x+1006)]=90m \vdots 2$ nên ta suy ra $[45m-(45^2x+1006)]$ và $[45m+(45^2x+1006)]$ đều $\vdots 2$ (3)

 

Kết hợp (**); (1); (2); (3) ta có bảng giá trị sau:

 

untitled24.png



#16 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 29-03-2014 - 13:35

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

MSS 07 :
Do $x;y$ là các số nguyên nên $2013x-2011y+2094$ cũng là số nguyên
$\Rightarrow \sqrt{2025x^2+2012x+3188}=m(m\in \mathbb{N})$ ( trong đó : $m=2013x-2011y+2094$ )
$\Rightarrow 2025x^2+2012x+3188=m^{2}\Rightarrow 3^4.5^2.2025x^{2}+2.3^{4}.5^2.1006x+6455700=(45m)^{2}\Rightarrow (2025x+1006)^{2}+5443664=(45m)^{2}\Rightarrow (45m-2025x-1006)(45m+2025x+1006)=5443664$
Thế  $m=2013x-2011y+2094$ vào phương trình trên
Suy ra : $(88560x-90495y+93224)(92610x-90495y+95236)=5443664$
Nhận thấy : $88560x-90495y+93224=45k+29;92610x-90495y+95236=45n+16(k,n\in \mathbb{Z})$
$\Rightarrow 5443664=(45k+29)(45n+16)$
Do $k;n$ là các số nguyên :
$\Rightarrow (k;n)\in \left \{ (-153;-18);(-1;-7561);(17;152);(7560;0) \right \}$
Mà : 

$\left\{\begin{matrix} 88560x-90495y=45k-93195 & \\ 92610x-90495y=45n-95220 & \end{matrix}\right.$
Thế các giá trị của của $k;n$ tìm được vào hệ trên thì ta chỉ có 1 nghiệm $x;y$ là : 
$\left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$
Vậy : $(x;y)= (1;2)$

 

 

   d =10

   S =17 +10x3= 47
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 15:55

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#17 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 29-03-2014 - 13:36

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

MSS 07 :
Do $x;y$ là các số nguyên nên $2013x-2011y+2094$ cũng là số nguyên
$\Rightarrow \sqrt{2025x^2+2012x+3188}=m(m\in \mathbb{N})$ ( trong đó : $m=2013x-2011y+2094$ )
$\Rightarrow 2025x^2+2012x+3188=m^{2}\Rightarrow 3^4.5^2.2025x^{2}+2.3^{4}.5^2.1006x+6455700=(45m)^{2}\Rightarrow (2025x+1006)^{2}+5443664=(45m)^{2}\Rightarrow (45m-2025x-1006)(45m+2025x+1006)=5443664$
Thế  $m=2013x-2011y+2094$ vào phương trình trên
Suy ra : $(88560x-90495y+93224)(92610x-90495y+95236)=5443664$
Nhận thấy : $88560x-90495y+93224=45k+29;92610x-90495y+95236=45n+16(k,n\in \mathbb{Z})$
$\Rightarrow 5443664=(45k+29)(45n+16)$
Do $k;n$ là các số nguyên :
$\Rightarrow (k;n)\in \left \{ (-153;-18);(-1;-7561);(17;152);(7560;0) \right \}$
Mà : 

$\left\{\begin{matrix} 88560x-90495y=45k-93195 & \\ 92610x-90495y=45n-95220 & \end{matrix}\right.$
Thế các giá trị của của $k;n$ tìm được vào hệ trên thì ta chỉ có 1 nghiệm $x;y$ là : 
$\left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$
Vậy : $(x;y)= (1;2)$

 

 

  Điểm bên trên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 15:56

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#18 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 29-03-2014 - 16:48

Bổ sung bài của em: 

 

Thử lại nghiệm



#19 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 29-03-2014 - 17:14

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

Bài làm của MSS 13 buiminhhieu:

Tồn tại cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn phương trình đó là cặp $(x,y)=(1,2)$

 

   Lấy bài bên dưới


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 15:59

%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#20 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 29-03-2014 - 17:24

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

Ý kiến riêng:

Em thấy câu hổi của đề có thể nên là Tìm các cặp số nguyên (x,y) thì hay hơn.

Nếu như vậy thì em giải như sau;

Gỉa sử tồn tại các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn PT:

Khi đó $\sqrt{2025x^{2}+2012x+3188}\in \mathbb{N}\Rightarrow 2025x^{2}+2012x+3188=t^{2}(t\in \mathbb{N})$

Biến đổi PT ta được $(2025x+1006)^{2}+5443664=(45t)^{2}\Leftrightarrow 5443663=(45t+2025x+1006)(45t-2025x-1006)$

Lại có $45t+2025x+1006\equiv 16(mod45)$

Các ước có số dư cho 45 là 16 của 5443664 là 16 và 5856(loại 16 vì ước còn lại lẻ)(không biết các nghiệm âm thế nào)

Khi đó $\left\{\begin{matrix} 45t+2025x+1006=6856 & \\ 45t-2025x-1006=794 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ t=85& \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=2& \end{matrix}\right.$

Vậy PT có ít nhất no(1,2)

 

 

    d =9

   S =17+ 9x3= 44


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 15:59

%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: mss 2014

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh