Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 6 - Phương trình nghiệm nguyên, đồng dư, chia hết

mss 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 40 trả lời

#21 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 29-03-2014 - 18:22

MSS54: (làm tiếp)

 

Bảng giá trị thứ hai: 

 

untitled24Q4N59.png

 

Kết hợp cả 2 bảng giá trị ta thấy cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đề là (1; 2)



#22 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 29-03-2014 - 20:56

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

MSS 47: Trương Việt Hoàng

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên $(x;y)$.

Có:

$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$

$\Leftrightarrow \sqrt{2025^2.x^2+2012.2025x+3188.2025}=45(2013x-2011y+2094)$

Do $x;y\in \mathbb{Z}\Rightarrow 45(2013x-2011y+2094)\in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow \sqrt{2025^2.x^2+2012.2025x+3188.2025}\in \mathbb{Z}$

Điều kiện cần để phương trình có nghiệm nguyên là:

$2025^2.x^2+2012.2025x+3188.2025=t^2$ ($t\in \mathbb{N}$)

$\Leftrightarrow (2025x+1006)^2+5443664=t^2$

$\Leftrightarrow (2025x+1006+t)(2025x+1006-t)=-5443664$

Ta có: $5443664=2^4.397.857$

Mà $2025x+1006+t>2025x+1006-t$ với $\forall t\in \mathbb{N}$

và $2025x+1006+t\in \mathbb{Z};2025x+1006-t\in \mathbb{Z}$

Vậy lập bảng ta tìm được cặp sau thoả mãn: (Có 20 cặp $(x;y)$ thì bị loại 19 cặp không nguyên)

$\left\{\begin{matrix}2025x+1006+t=6856 & & \\ 2025x+1006-t=-794 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x=1\Rightarrow y=2$

Thử lại nghiệm $(x;y)=(1;2)$ đã cho phương trình luôn đúng.

Vậy phương trình có nghiệm nguyên $(x;y)=(1;2)$

 

    Điểm bên trên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 15:59


#23 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-03-2014 - 21:19

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094\ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Đề của 

lenin1999

Bài làm của MSS 10:

Vì $x, y$ nguyên nên $2013x-2011y+2094 \in \mathbb{Z}$ 

Do đó $\sqrt{2025x^2+2012x+3188} \in \mathbb{N}$ $($vì $\sqrt{2025x^2+2012x+3188}\geq 0)$ 

 

Đặt $\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=k$ $(k\in \mathbb{N})$

Khi đó $2025x^2+2012x+3188=k^2$

$\Leftrightarrow (2025x+1006)^2-(45k)^2=-5443664$

$\Leftrightarrow (2025x-45k+1006)(2025+45k+1006)=-5443664=-2^4.397.857\ \ \ \ \ \ (2)$

 

Vì $x \in \mathbb{Z}$ và $k \in \mathbb{N}$ nên $2025x-45k+1006\ ; 2025x+45k+1006 \in \mathbb{Z}$

Và $2025x-45k+1006\leq 2025x+45k+1006$

Mặt khác $(2025x-45k+1006)+(2025x+45k+1006)$ chia hết cho $2$ nên $2025x-45k+1006$ và $2025x+45k+1006$ cùng tính chẵn lẻ.

Lại có $2025x-45k+1006$ và $2025x-45k+1006$ đều chia $15$ dư $1$

 

Do đó phương trình $(1)$ tương đương với

$\left\{\begin{matrix} 2025x-45k+1006=-794\\ 2025x+45k+1006=6856 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ k=85 \end{matrix}\right.$
 
Thay $x=1$ vào phương trình $(1)$ ta có phương trình
$\sqrt{2025+2012+3188}=2013-2011y+2094\Leftrightarrow y=2$
 
Vậy phương trình có nghiệm nguyên
$$(x;y)=(1;2)$$
 
 
   d =10
  S =17+10x3=47

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 16:00


#24 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 29-03-2014 - 21:56

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?
$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$
Đề của 
lenin1999

Mss15: Có tồn tạo cặp số nguyên $(x,y)$ thoả mãn, lấy ví dụ là $x=1,y=2$.

 

 Lại một lời giải tắt

  d =0


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 16:01

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#25 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 30-03-2014 - 08:00

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

 

Bài làm của toán thủ MSS 004 : Nguyễn Trung Hiếu 

 Do $x,y\epsilon \mathbb{Z}$ $\Rightarrow 2013x-2011y+2094 \epsilon \mathbb{Z}$ $\Rightarrow \sqrt{2025x^2+2012x+3188}\epsilon \mathbb{Z}$. 

 

Đặt $2025x^2+2012x+3188=t^2$ ($t\epsilon \mathbb{N}$) thì ta có:

$$2025(2025x^2+2012x+3188)=2025t^2$$ 

$$\Rightarrow (2025x+1006)^2+5443664=(45t)^2$$

$$\Leftrightarrow (2025x+1006-45t)(2025x+1006+45t)=-5443664=-2^4.397.857$$

Dễ nhận thấy $(2025x+1006-45t)$ và $(2025x+1006+45t)$ cùng tính chẵn lẻ, trái dấu và $(2025x+1006+45t)>(2025x+1006-45t)$ $\Rightarrow 2025x+1006+45t>0$ $\Rightarrow 2025x+1006+45t\equiv 1$ (mod 5)  nên ta có bảng sau : 

 

1888569_267515356743546_1603107519_n.jpg

 

Thay $x=1$ vào phương trình đầu ta được $y=2$

 

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm nguyên $(x;y)=(1;2)$

 

 

   d = 10

  S =17+10x3=47

 

 

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 16:01

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#26 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 30-03-2014 - 08:17

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

 

------------------------------------------------------------------------

 

Bài dự thi trước xin được bỏ, MSS 27 gửi lại bài này

 

------------------------------------------------------------------------

 

 

Bài dự thi trận 6: MSS 27

 

 

 

-----------------------------------------------------------

 

Phương trình đầu:

 

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

 

Nhận xét:

 

$\textrm{VT}=\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=\sqrt{\frac{(2025x+1006)^2}{2025}+\frac{5443664}{2025}}> 0\forall x$

 

 

Vì $(x,y)$ nguyên nên:

 

$\textrm{VP}=2013x-2011y+2094\in \mathbb{Z}$

 

Vậy:

 

$\textrm{VT}=\sqrt{2025x^2+2012x+3188}\in \mathbb{Z}$

 

Đặt:

 

$\textrm{VT}=\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=n$  $(n\in \mathbb{Z};n> 0)$

 

$\Leftrightarrow 2025x^2+2012x+3188=n^2$

 

$\Leftrightarrow 2025x^2+2012x+3188-n^2=0$

 

Nhân $45^{2}$ vào cả hai vế, nhóm lại ta được:

 

$\Leftrightarrow (45n)^2-[(45^2)x+1006]^2=5443664$

 

$\Leftrightarrow (45n)^2-[(45^2)x+1006]^2=5443664$

 

$\Leftrightarrow [45n-(45^2)x-1006][45n+(45^2)x+1006]=5443664$

 

Đến đây, ta có nhận xét:

 

$45n-(45^2)x-1006$ và $45n+(45^2)x+1006$ có cùng tính chẵn lẻ.

 

$\textrm{VP}=5445664$ chẵn

 

$45n$ và $(45^2)x \equiv 0\textrm{(mod45)}$

 

$1006\equiv 16\textrm{(mod45)}$

 

Vậy $45n+(45^2)x+1006\equiv 16\textrm{(mod45)}$

 

$45n+(45^2)x+1006 >0$

 

Từ tất cả nhận xét trên, kết luận:

 

$45n-(45^2)x-1006$ và $45n+(45^2)x+1006$ là tích của $2$ số chẵn

 

 $45n-(45^2)x-1006$ và $45n+(45^2)x+1006$ $\in$ ước dương chẵn của $45$.

 

và $45n+(45^2)x+1006\equiv 16\textrm{(mod45)}$

 

Ta có hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} 45n+(45^2)x+1006=6856 (1)\\ 45n-(45^2)x-1006=794 (2)\end{matrix}\right.$

 

Lấy $1$ trừ $2$, ta được:

 

$2.(45^2)x+2.1006=6062$

 

$\Leftrightarrow (45^2)x=2025\Leftrightarrow x=1$

  

Dễ thấy $x=1$ nhận.

 

Với $x=1$, ta thay vào phương trình ban đầu, tìm được $y=2$ (nhận)

 

Kết luận: Có tồn tại cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn phương trình:

 

$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$

 

Đó là một và chỉ một cặp số nguyên $(1;2)$

 

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$

 

------------------------------------------------------------------


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 13-07-2014 - 23:51

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#27 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 30-03-2014 - 08:46

Mở rộng của MSS 27

 

------------------------------------------------

 

$\bigstar \bigstar \bigstar$

 

Mở rộng :

 

Có tồn tại hay không cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn phương trình sau:

 

$\sqrt{(ax)^2+bx+c}=f_{(x)}+f_{(y)}+d$ (phương trình đầu)

 

Biết: $f_{(x)}+f_{(y)}+d\geq 0$;   $a\neq 0$;   $2\mid b,a; c>0$

 

và $\sqrt{(ax)^2+bx+c}>0; f_{(x)}; f_{(y)};d$ có các hệ số đều nguyên.

 

 

Lời giải: 

 

Nhận xét:  

 

Ta thấy: $$\sqrt{(ax)^2+bx+c}>0$$

 

Vì $(x,y)$ nguyên nên:

 

$\textrm{VP}=f_{(x)}; f_{(y)}\in \mathbb{Z}$

 

Vậy:

 

$\textrm{VT}=\sqrt{(ax)^2+bx+c}\in \mathbb{Z}$

 

Đặt:

 

$\textrm{VT}=\sqrt{(ax)^2+bx+c}=n$  $(n\in \mathbb{Z};n> 0)$

 

$\Leftrightarrow (ax)^2+bx+c=n^2$

 

$$\Leftrightarrow (ax)^2+bx+c-n^2=0$$

 

Nhân $a^{2}$ vào cả hai vế, nhóm lại ta được:

 

$$\Leftrightarrow (an)^2-[(a^2)x+\frac{b}{2}]^2=a^2c+\frac{3b^2}{4}$$

 

$$\Leftrightarrow [an-(a^2)x-\frac{b}{2}][an+(a^2)x+\frac{b}{2}]=a^2c+\frac{3b^2}{4}$$

 

Đến đây, ta có nhận xét:

$an-(a^2)x-\frac{b}{2}$ và $an+(a^2)x+\frac{b}{2}$ có cùng tính chẵn lẻ.

 

$\textrm{VP}=a^2c+\frac{3b^2}{4}$ chẵn vì $2\mid a;b\Rightarrow 4 \mid a^2;b^2\Rightarrow 4\mid\textrm{VP}$

 

$an$ và $(a^2)x \equiv 0\textrm{(moda)}$

 

$\frac{b}{2} \equiv k \textrm{(moda)}$ ($k$ nguyên)

 

Vậy $an+(a^2)x+\dfrac{b}{2}\equiv k\textrm{(moda)}$

 

$an+(a^2)x+\dfrac{b}{2}>0$

Từ tất cả nhận xét trên, kết luận:

 

$[an-(a^2)x-\dfrac{b}{2}]$ và $[an+(a^2)x+\dfrac{b}{2}]$ là tích của $2$ số chẵn

 

$[an-(a^2)x-\dfrac{b}{2}]$ và $[an+(a^2)x+\dfrac{b}{2}]$ $\in$ ước dương chẵn của $a$

 

và $an+(a^2)x+\dfrac{b}{2}\equiv k\textrm{(moda)}$

 

Rồi tìm các ước dương chẵn của $a$ thỏa mãn có số dư $k$ khi được $a$ chia và tìm ước dương chẵn còn lại và lập hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} an+(a^2)x+\dfrac{b}{2}=m (1)\\ an-(a^2)x-\dfrac{b}{2}=n (2)\end{matrix}\right.$

 

Trong đó: $m\equiv k (\textrm{mod a});mn=a^2c+\dfrac{3b^2}{4};m>n+b$

 

Lấy $1$ trừ $2$, ta được:

 

$2.(a^2)x+b=m-n$

 

$\Leftrightarrow (a^2)x=\frac{m-n-b}{2}$

 

Mà $m>n+b$ và $m;n;b$ đều chẵn$

 

$\Rightarrow \frac{m-n-b}{2}$ nguyên

 

Nếu: $a^2 \mid \frac{m-n-b}{2}$ thì phương trình có cặp nghiệm nguyên duy nhất:

 

$(\frac{m-n-b}{2a};y)$ tự tìm $y$ theo phương trình đầu

 

Nếu $a^2 \nmid \frac{m-n-b}{2}$ thì phương trình vô nghiệm nguyên.

 

 

Kết luận: Có tồn tại cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn phương trình:

 

$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$

 

Đó là một và chỉ một cặp số nguyên

 

$(\frac{m-n-b}{2a};y)$ (tự tìm $y$ theo phương trình đầu)

 

$\Leftrightarrow a^2 \mid \frac{m-n-b}{2}$

 

Không tồn tại cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn phương trình

 

$\Leftrightarrow a^2 \nmid \frac{m-n-b}{2}$

 

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$

   

 

   Mở rộng đúng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 16:02

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#28 anhtukhon1

anhtukhon1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 480 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:DOTA VIỆT NAM
  • Sở thích:TRÙM DOTA VIỆT NAM :O

Đã gửi 30-03-2014 - 15:42

Ta có x=1 và y=2 là một nghiệm của phương trình 

Vậy có tồn tại các cặp số nguyên (x,y)

Thật vậy xét $2025x^{2}+2012x+3188=(2013x-2011y+2094)^{2}\Leftrightarrow 2012x+3188=(1968x-2011y+2094)(2058x-2011y+2094)$

Vậy y phải chẵn

Xét y=2 suy ra x=1 suy ra điều phải chứng minh



#29 Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ

Đã gửi 30-03-2014 - 20:10

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$ (1)

Đề của 

lenin1999

MSS-01: Nguyễn Đức Thuận

Giải:

ĐKXĐ: $\forall x\in \mathbb{Z}$

Ta có: $(1)\Leftrightarrow \sqrt{45^4x^2+2012.45^2+3188.45^2}=45(2013x-2011y+2094)$

Đặt $VP=a\vdots 45$ $\Rightarrow a^2=45^4x^2+2.45^2x.1006+1006^2+5443664=(45^2x+1006)^2+5443664$

$\Leftrightarrow \left [ a+(45^2x+1006) \right ] .\left [ a-(45^2x+1006) \right ]=2^4.397.857$

Ta thấy: $a+(45^2x+1006)+a-(45^2x+1006)=2a\vdots2$

Suy ra 2 số $a+(45^2x+1006)$ và $a-(45^2x+1006)$ cùng tính chẵn, giả sử $a+(45^2x+1006)>a-(45^2x+1006)$.

Ta có bảng sau:

File gửi kèm  vmf.jpg   15.65K   0 Số lần tải
Như vậy chỉ có 1 trường hợp $a=45.85$, khi đó:

$x=1$ và $2013x-2011y+2094=85$.

$\Leftrightarrow x=1;y=2$

Vậy tồn tại cặp số nguyên thỏa mãn bài, đó là: $(x;y)=(1;2)$

 

 

  d = 10

  $d_{mr}=9$

 S =17+10x3 +9 =56


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 16:04


#30 nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT Phan Bội Châu
  • Sở thích:bóng đá, làm toán, chơi game,đủ trò

Đã gửi 30-03-2014 - 20:24

ta có ,với $x=1$

$\sqrt{2025x^{2}+2012x+3188}=\sqrt{2025+2012+3188}=85$

$\Rightarrow 85=2013-2011y+2094$

$\Leftrightarrow 4022=2011y$

$\Leftrightarrow y=2$ (thoả mãn $y$ là số tự nhiên)

Cặp số nguyên $\left ( x,y \right )=\left ( 1,2 \right )$ thoả mãn phương trình.

Vậy luôn tồn tại cặp số nguyên $\left ( x,y \right )$ thoả mãn phương trình

 

  d =9

 S =17+9x3 = 44


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 29-04-2014 - 16:03


#31 Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ

Đã gửi 30-03-2014 - 20:34

MSS-01: Nguyễn Đức Thuận

Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ? Với $a,b,c,d\in \mathbb{Z}, a\neq 0$

$$\sqrt{a^2x^2+2bx+c}=f(x)+g(y)+d$$ (1)

(g(y) có bậc nhỏ hơn 3)

Giải:

ĐKXĐ: $a^2x^2+2bx+c\ge0$

Ta có: $(1)\Leftrightarrow \sqrt{a^4x^2+2ba^2+a^2c}=a(f(x)+g(y)+d)$

Đặt $VP=k\vdots a$ $\Rightarrow k^2=a^4x^2+2ba^2x+b^2+c-b^2=(a^2x+b)^2+c-b^2$

$\Leftrightarrow \left [ k+(a^2x+b) \right ] .\left [k-(a^2x+b) \right ]=c-b^2$

Ta thấy: $k+(a^2x+b)+k-(a^2x+b)=2k\vdots2$

Suy ra 2 số $k+(a^2x+b)$ và $k-(a^2x+b)$ cùng tính chẵn lẻ, giả sử $k+(a^2x+b)>k-(a^2x+b)$.

Ta lập bảng xét ước của $c-b^2$, tìm $k$ với $\frac{k}{a}\in \mathbb{Z}$

Từ đó: giả sử tìm được, $x=\alpha \Rightarrow f(\alpha )+g(y)+d=\sqrt{a^2\alpha ^2+2b\alpha +c}$

và tìm được $y$.

Kết luận. (Hoặc không tìm được, hoặc tìm được tùy thuộc vào $a,b,c,d$)

 



#32 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 31-03-2014 - 21:48

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#33 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 31-03-2014 - 22:51

MSS 07 :
Do $x;y$ là các số nguyên nên $2013x-2011y+2094$ cũng là số nguyên
$\Rightarrow \sqrt{2025x^2+2012x+3188}=m(m\in \mathbb{N})$ ( trong đó : $m=2013x-2011y+2094$ )
$\Rightarrow 2025x^2+2012x+3188=m^{2}\Rightarrow 3^4.5^2.2025x^{2}+2.3^{4}.5^2.1006x+6455700=(45m)^{2}\Rightarrow (2025x+1006)^{2}+5443664=(45m)^{2}\Rightarrow (45m-2025x-1006)(45m+2025x+1006)=5443664$
Thế  $m=2013x-2011y+2094$ vào phương trình trên
Suy ra : $(88560x-90495y+93224)(92610x-90495y+95236)=5443664$
Nhận thấy : $88560x-90495y+93224=45k+29;92610x-90495y+95236=45n+16(k,n\in \mathbb{Z})$
$\Rightarrow 5443664=(45k+29)(45n+16)$
Do $k;n$ là các số nguyên :
$\Rightarrow (k;n)\in \left \{ (-153;-18);(-1;-7561);(17;152);(7560;0) \right \}$
Mà : 

$\left\{\begin{matrix} 88560x-90495y=45k-93195 & \\ 92610x-90495y=45n-95220 & \end{matrix}\right.$
Thế các giá trị của của $k;n$ tìm được vào hệ trên thì ta chỉ có 1 nghiệm $x;y$ là : 
$\left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$
Vậy : $(x;y)= (1;2)$

 

 

MSS54:

 

Giả sử tồn tại cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn (*)

 

Do x;y nguyên nên $2025x^2+2012x+3188$ và $2013x-2011y+2094$ cũng nguyên.

 

Kết hợp (*) $\Rightarrow 2025x^2+2012x+3188=m^2 (m \in Z)$

 

$\Rightarrow \sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094=|m|$

 

Hay $2013x-2011y=|m|-2094$(**)

 

Ta có $m^2-[(45x)^2+2012x+3188]=0 \\ \Leftrightarrow (45m)^2-[(45^2x)^2+45^2x.2012+3188.45^2]=0 \\ \Leftrightarrow (45m)^2- \Big[ [(45^2x)^2+2.45^2x.1006+1006^2]+5443664 \Big]=0 \\ \Leftrightarrow (45m)^2-(45^2x+1006)^2=5443664 \\ \Leftrightarrow [45m-(45^2x+1006)] . [45m+(45^2x+1006)]=5443664 (1)$

 

Do x; m nguyên nên $[45m-(45^2x+1006)]$ và $[45m+(45^2x+1006)]$ nguyên. (2)

 

Mà 5443664 $\vdots 2$ nên $[45m-(45^2x+1006)] . [45m+(45^2x+1006)] \vdots 2$

 

Xét tổng: $[45m-(45^2x+1006)]+[45m+(45^2x+1006)]=90m \vdots 2$ nên ta suy ra $[45m-(45^2x+1006)]$ và $[45m+(45^2x+1006)]$ đều $\vdots 2$ (3)

 

Kết hợp (**); (1); (2); (3) ta có bảng giá trị sau:

 

untitled24.png

 

 

Đặt $\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094=m$($m$ là số tự nhiên)

 

$\Rightarrow 2025x^2+2012x+3188=m^{2}$

$\Rightarrow 45^{2}x^2+2.1006x+3188=m^{2}$

$\Rightarrow (45^{2}x)^2+2.1006.45^{2}x+3188.45^{2}=(45m)^{2}$

$\Rightarrow (45^{2}x+1006)^2+5443664=(45m)^{2}$

$\Rightarrow (45m-45^{2}x-1006)(45m+45^{2}x+1006)=5443664=2^{4}.857.397$

 

Ta thấy $45m-45^{2}x-1006$ và $45m+45^{2}x+1006$ cùng tính chẵn lẻ ( vì tổng của chúng là chẵn) và cùng dấu 

Mà $5443664$ là số chẵn nên $45m-45^{2}x-1006$ và $45m+45^{2}x+1006$ cùng chẵn.

và $45m+45^{2}x+1006$ luôn dương nên  $45m-45^{2}x-1006$ cũng dương 

 

Mặt #: $45m+45^{2}x+1006=45(m+45x+22)+16$ chia 45 dư 16

 và      $45m-45^{2}x-1006=45(m-45x-23)+29$    chia 45 dư 29

Suy ra: Ta chỉ phân tích các ước chẵn của $5443664$ mà các ước đó lần lượt chia 45 dư 16 và chia 45 dư 29.

 

Xét các ước chẵn theo cặp:

$(2.857;2^{3}.397);(2^{2}.857;2^{2}.397);(2^{3}.857;2.397);$

 

Thì chỉ thấy cặp thứ thỏa mãn tính chất trên.

 

suy ra $$45m+45^{2}x+1006=2^{3}.857$$   và   $$45m-45^{2}x-1006=2.397$$

cộng 2 vế trên lại $\Rightarrow m=85$. thay m lại vào pt tìm được $x=1,y=2$

 

 

MSS54: (làm tiếp)

 

Bảng giá trị thứ hai: 

 

untitled24Q4N59.png

 

Kết hợp cả 2 bảng giá trị ta thấy cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đề là (1; 2)

 

 

MSS 47: Trương Việt Hoàng

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên $(x;y)$.

Có:

$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$

$\Leftrightarrow \sqrt{2025^2.x^2+2012.2025x+3188.2025}=45(2013x-2011y+2094)$

Do $x;y\in \mathbb{Z}\Rightarrow 45(2013x-2011y+2094)\in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow \sqrt{2025^2.x^2+2012.2025x+3188.2025}\in \mathbb{Z}$

Điều kiện cần để phương trình có nghiệm nguyên là:

$2025^2.x^2+2012.2025x+3188.2025=t^2$ ($t\in \mathbb{N}$)

$\Leftrightarrow (2025x+1006)^2+5443664=t^2$

$\Leftrightarrow (2025x+1006+t)(2025x+1006-t)=-5443664$

Ta có: $5443664=2^4.397.857$

Mà $2025x+1006+t>2025x+1006-t$ với $\forall t\in \mathbb{N}$

và $2025x+1006+t\in \mathbb{Z};2025x+1006-t\in \mathbb{Z}$

Vậy lập bảng ta tìm được cặp sau thoả mãn: (Có 20 cặp $(x;y)$ thì bị loại 19 cặp không nguyên)

$\left\{\begin{matrix}2025x+1006+t=6856 & & \\ 2025x+1006-t=-794 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x=1\Rightarrow y=2$

Thử lại nghiệm $(x;y)=(1;2)$ đã cho phương trình luôn đúng.

Vậy phương trình có nghiệm nguyên $(x;y)=(1;2)$

 


 

 

mình nghĩ câu hỏi của đề là có tồn tại hay không chứ không phải là tìm nên  kết luận các cậu không theo yêu cầu đề bài!


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#34 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 31-03-2014 - 23:18

Xin lỗi BTC vì em đã làm nhiều bài :) . Nhưng cho phép em lấy bài đã được sửa cẩn thận ở #9 ạ

Mấy bài sau có lẽ em nhìn nhầm $45^{2}$ thành $x^{2}$ :luoi: . Mong BTC thông cảm.


                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#35 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 01-04-2014 - 08:09

Em nộp 3 bài trong đó 2 bài đầu bổ sung cho nhau và 1 bài cuối. Bài nào cao điểm (đầy đủ) thì BTC chấm nha. (Bài cuối đầy đủ nhất thì lại nộp muộn quá, vì thế BTC chấm xem bài nào cao điểm thì lấy nha.

 

 

 

 

mình nghĩ câu hỏi của đề là có tồn tại hay không chứ không phải là tìm nên  kết luận các cậu không theo yêu cầu đề bài!

 

Mình lại không nghĩ vậy, các bài làm mà kết luận luôn tập nghiệm vậy thì dễ quá rồi, vì có rất nhiều công cụ hỗ trợ để tìm nghiệm (Trong chữ ký của mình đó). Ở đây.

10171310_1566797946878692_1209597773_o.j

File gửi kèm  nghiệm.bmp   3MB   11 Số lần tải
Theo mình bài làm phải giải rõ chứ không viết mỗi nghiệm ra.

Tuy nhiên,có thể kết luận của mình sai 

 

 

P/s: Sao lần này lâu hiện bài vậy BTC


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 01-04-2014 - 08:22


#36 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 01-04-2014 - 21:26

Mình lại không nghĩ vậy, các bài làm mà kết luận luôn tập nghiệm vậy thì dễ quá rồi, vì có rất nhiều công cụ hỗ trợ để tìm nghiệm (Trong chữ ký của mình đó).

 

Theo mình bài làm phải giải rõ chứ không viết mỗi nghiệm ra.

Tuy nhiên,có thể kết luận của mình sai 

 

 

 

 

Mình cũng nghĩ là đối với mấy bài dạng : "Tồn tại hay không ... " (không riêng ở dạng pt nghiệm nguyên hay chứng minh chia hết của số học, v...v...) thì thường là không tồn tại (nhưng bài này lại đặc biệt có :D) Mình cũng nghĩ là nên giải rõ ra sau đó kết luận cụ thể là tồn tại và số thỏa mãn là gì. 

 

Vậy chắc đa số các bài tìm cụ thể ra (x; y) đều kế luận sai.



#37 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 29-04-2014 - 16:06

  Vì lý do cá nhân nên sẽ chấm trận 6 trước .Đã chấm xong bài các toán thủ. Các bạn có một ngày để phúc khảo điểm .

Còn bảng điểm cụ thể sẽ được lập sau 



#38 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 30-04-2014 - 13:43

  Vì lý do cá nhân nên sẽ chấm trận 6 trước .Đã chấm xong bài các toán thủ. Các bạn có một ngày để phúc khảo điểm .

Còn bảng điểm cụ thể sẽ được lập sau 

 

 Bài em chưa có điểm ?



#39 anhtukhon1

anhtukhon1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 480 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:DOTA VIỆT NAM
  • Sở thích:TRÙM DOTA VIỆT NAM :O

Đã gửi 03-05-2014 - 14:32

Bài em cũng chưa có điểm nốt



#40 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 14-07-2014 - 14:41

ta có ,với $x=1$

$\sqrt{2025x^{2}+2012x+3188}=\sqrt{2025+2012+3188}=85$

$\Rightarrow 85=2013-2011y+2094$

$\Leftrightarrow 4022=2011y$

$\Leftrightarrow y=2$ (thoả mãn $y$ là số tự nhiên)

Cặp số nguyên $\left ( x,y \right )=\left ( 1,2 \right )$ thoả mãn phương trình.

Vậy luôn tồn tại cặp số nguyên $\left ( x,y \right )$ thoả mãn phương trình

 

  d =9

 S =17+9x3 = 44

 

Giả sử tồn tại $(x;y)$ nguyên thoả mãn pt:

$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094\Leftrightarrow \sqrt{2025^2.x^2+2012.2025x+3188.2025}=45(2013x-2011y+2094)$

Do $x;y\in \mathbb{Z}\Rightarrow 45(2013x-2011y+2094)\in \mathbb{Z}\Rightarrow \sqrt{2025^2.x^2+2012.2025x+3188.2025}\in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow 2025^2.x^2+2012.2025x+3188.2025=t^2$ ($t\in \mathbb{N}$)

$\Leftrightarrow (2025x+1006)^2+5443664=t^2$

$\Leftrightarrow (2025x+1006)^2-t^2=-5443664$

$\Leftrightarrow (2025x+1006-t)(2025x+1006+t)=-5443664$

Do $x\in \mathbb{Z};t\in \mathbb{N}$; $2025x+1006-t<2025x+1006+t$; 

$5443664=2^4.857.397$

Vậy tìm được (x;y)=(1;2) nguyên.

  

 

   Đoạn này cần tìm x,t cho chi tiết không nên làm tắt

   d = 9

  S =17+ 9x3=44

 

Em có ý kiến, bài làm mò nghiệm và (nguyentrungphuc26041999) và bài làm rõ (Viet Hoang 99)
Chỗ kia bảo tắt là hai bài bằng nhau à anh? Có vẻ hơi vô lý

 

Bảng điểm:

File gửi kèm  MSS06.xls   24K   8 Số lần tải







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: mss 2014

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh