Bài dự thi trận 6: MSS 27
-----------------------------------------------------------
Nhận xét:
$\textrm{VP}=\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=\sqrt{\frac{(2025x+1006)^2}{2025}+\frac{5443664}{2025}}> 0\forall x$
Vì $(x,y)$ nguyên nên:
$\textrm{VT}=2013x-2011y+2094\in \mathbb{Z}$
Vậy:
$\textrm{VP}=\sqrt{2025x^2+2012x+3188}\in \mathbb{Z}$
Đặt:
$\textrm{VP}=\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=n$ $(n\in \mathbb{Z};n> 0)$
$\Leftrightarrow 2025x^2+2012x+3188=n^2$
$\Leftrightarrow 2025x^2+2012x+3188-n^2=0$
Nhân $45^{2}$ vào cả hai vế, nhóm lại ta được:
$\Leftrightarrow (45n)^2=[(45x)^2+1006]^2+5443664$
$\Leftrightarrow (45n)^2-[(45x)^2+1006]^2=5443664$
$\Leftrightarrow [45n-(45x)^2-1006][45n+(45x)^2+1006]=5443664$
Đến đây, ta có nhận xét:
$45n-(45x)^2-1006$ và $45n+(45x)^2+1006$ có cùng tính chẵn lẻ.
$\textrm{VP}=5445664$ chẵn
$45n$ và $(45x)^2 \equiv 0\textrm{(mod45)}$
$1006\equiv 16\textrm{(mod45)}$
Vậy $45n+(45x)^2+1006\equiv 16\textrm{(mod45)}$
$45n+(45x)^2+1006 >0$
Từ tất cả nhận xét trên, kết luận:
$45n-(45x)^2-1006$ và $45n+(45x)^2+1006$ là tích của $2$ số chẵn
$45n-(45x)^2-1006$ và $45n+(45x)^2+1006$ $\in$ ước dương chẵn của $45$.
và $45n+(45x)^2+1006\equiv 16\textrm{(mod45)}$
Vậy trong các ước dương chẵn của $45$ chỉ có $2$ số thỏa : $6856;794$
Ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 45n+(45x)^2+1006=6856 (1)\\ 45n-(45x)^2-1006=794 (2)\end{matrix}\right.$
Lấy $1$ trừ $2$, ta được:
$2.(45x)^2+2.1006=6062$
$\Leftrightarrow (45x)^2=2025\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm 1$
Thay $x=-1$ vào vế phải $\Rightarrow$ không phải số nguyên. Loại.
Dễ thấy $x=1$ nhận.
Với $x=1$, ta thay vào phương trình ban đầu, tìm được $y=2$ (nhận)
Kết luận: Có tồn tại cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn phương trình:
$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$
Đó là cặp số nguyên $(1;2)$
$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$
d =10
$d_{mr}=10$
S =17 +10x3 +10 =57