Chủ đề này có 8 trả lời

[E. Galois]

Vào hồi 20h00, Thứ Sáu, ngày 28/03/2014, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.
 

 

I- Bạn cần biết:

1) Điều lệ giải đấu

2) Lịch thi đấu và kết quả

 

 

II - Lưu ý

1) Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi LATEX trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

 

 

Để sử dụng chức năng xem trước, bạn click vào Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ và chọn Xem trước.

 

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

 

3) Thành viên diễn đàn không đăng kí thi đấu vẫn có thể giải bài, nhưng phải ghi rõ là: Mình không phải là toán thủ thi đấu

 

4) Trận 6 sẽ loại 2 toán thủ có số điểm thấp nhất

[E. Galois]

Giải và biện luận hệ bất phương trình 

$$\left\{\begin{matrix} \left | x-y+xy-1 \right |=1\\ \left | x-1 \right |-m\left | y+1 \right |\leq m-1 \end{matrix}\right.$$

Toán thủ ra đề 

cuongt1k23

[maitienluat]

Bài làm:

 

Hệ đã cho tương đương với $\left\{\begin{matrix} |x-1|.|y+1|=1 & \\ |x-1|-m.|y+1| \leq m-1 & \end{matrix}\right.$

Đặt $a=|x-1|,b=|y-1|$ thì $a \geq 0, b \geq 0$ và hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} ab=1 & (1)\\ a-mb \leq m-1 & (2) \end{matrix}\right.$

Từ $(1)$ ta suy ra $a>0$. Do đó $(2) \Leftrightarrow a^2-mab \leq (m-1)a$

$\Leftrightarrow a^2-(m-1)a-m \leq 0$ (do $ab=1$)

$\Leftrightarrow (a+1)(a-m) \leq 0$

$\Rightarrow a \leq m$ (do $a+1 >1>0$)

Biện luận: Nếu $m \leq 0$ thì hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm .

                 Nếu $m >0$ thì hệ đã cho có nghiệm (và có vô số nghiệm).

[davidsilva98]

Giải và biện luận hệ bất phương trình 

$$\left\{\begin{matrix} \left | x-y+xy-1 \right |=1\\ \left | x-1 \right |-m\left | y+1 \right |\leq m-1 \end{matrix}\right.$$

Lời giải.

Hệ bất phương trình $<=>\left\{\begin{matrix} \left | x-1 \right |.\left | y+1 \right |=1(1)\\ \left | x-1 \right |-m\left | y+1 \right |\leq m-1(2) \end{matrix}\right.$

Thế (1) vào (2) ta được $\left | x-1 \right |-m\left | y+1 \right |\leq m-\left | x-1 \right |.\left | y+1 \right |$

$<=>(\left | x-1 \right |-m)(\left | y+1 \right |+1)\leq 0$

Mà $\left | y+1 \right |+1> 0$ nên $\left | x-1 \right |-m\leq 0<=>\left | x-1 \right |\leq m$

Trường hợp 1: $m\leq 0=>\left | x-1\right |\leq 0=>x=1$. Thế vào (1) ta được $0.\left | y+1 \right |=1$ (vô lý)

Trường hợp 2: $m>0=>-m\leq x-1\leq m<=>1-m\leq x\leq 1+m$

Gọi $(x_{0};y_{0})$ là nghiệm của của hệ bất phương trình

Ta suy ra $1-m\leq x_{0}\leq 1+m$ và từ (1) ta được $\left | y_{0}+1 \right |=\frac{1}{\left | x_{0} -1\right |}$$=>y_{0}=\frac{\pm 1}{\left | x_{0} -1\right |}-1$

Kết luận: * $m\leq 0$ $=>$ hệ bất phương trình vô nghiệm

               * $m>0$ $=>$ hệ bất phương trình có vô số nghiệm $(x;y)=(a;\frac{\pm 1}{\left | a-1 \right |}+1)$ với $1-m\leq a\leq m+1$ hay $\left | a-1 \right |\leq m$.

[davidsilva98]

Giải và biện luận hệ bất phương trình 

$$\left\{\begin{matrix} \left | x-y+xy-1 \right |=1\\ \left | x-1 \right |-m\left | y+1 \right |\leq m-1 \end{matrix}\right.$$

Lời giải.

Hệ bất phương trình $<=>\left\{\begin{matrix} \left | x-1 \right |.\left | y+1 \right |=1(1)\\ \left | x-1 \right |-m\left | y+1 \right |\leq m-1(2) \end{matrix}\right.$

Thế (1) vào (2) ta được $\left | x-1 \right |-m\left | y+1 \right |\leq m-\left | x-1 \right |.\left | y+1 \right |$

$<=>(\left | x-1 \right |-m)(\left | y+1 \right |+1)\leq 0$

Mà $\left | y+1 \right |+1> 0$ nên $\left | x-1 \right |-m\leq 0<=>\left | x-1 \right |\leq m$

Trường hợp 1: $m\leq 0=>\left | x-1\right |\leq 0=>x=1$. Thế vào (1) ta được $0.\left | y+1 \right |=1$ (vô lý)

Trường hợp 2: $m>0=>-m\leq x-1\leq m<=>1-m\leq x\leq 1+m$

Gọi $(x_{0};y_{0})$ là nghiệm của của hệ bất phương trình

Ta suy ra $1-m\leq x_{0}\leq 1+m$ và từ (1) ta được $\left | y_{0}+1 \right |=\frac{1}{\left | x_{0} -1\right |}$$=>y_{0}=\frac{\pm 1}{\left | x_{0} -1\right |}-1$

Kết luận: * $m\leq 0$ $=>$ hệ bất phương trình vô nghiệm

               * $m>0$ $=>$ hệ bất phương trình có vô số nghiệm $(x;y)=(a;\frac{\pm 1}{\left | a-1 \right |}+1)$ với $1-m\leq a\leq m+1$ hay $\left | a-1 \right |\leq m$.

[davidsilva98]

Giải và biện luận hệ bất phương trình 

$$\left\{\begin{matrix} \left | x-y+xy-1 \right |=1\\ \left | x-1 \right |-m\left | y+1 \right |\leq m-1 \end{matrix}\right.$$

Lời giải.

Hệ bất phương trình $<=>\left\{\begin{matrix} \left | x-1 \right |.\left | y+1 \right |=1(1)\\ \left | x-1 \right |-m\left | y+1 \right |\leq m-1(2) \end{matrix}\right.$

Thế (1) vào (2) ta được $\left | x-1 \right |-m\left | y+1 \right |\leq m-\left | x-1 \right |.\left | y+1 \right |$

$<=>(\left | x-1 \right |-m)(\left | y+1 \right |+1)\leq 0$

Mà $\left | y+1 \right |+1> 0$ nên $\left | x-1 \right |-m\leq 0<=>\left | x-1 \right |\leq m$

Trường hợp 1: $m\leq 0=>\left | x-1\right |\leq 0=>x=1$. Thế vào (1) ta được $0.\left | y+1 \right |=1$ (vô lý)

Trường hợp 2: $m>0=>-m\leq x-1\leq m<=>1-m\leq x\leq 1+m$

Gọi $(x_{0};y_{0})$ là nghiệm của của hệ bất phương trình

Ta suy ra $1-m\leq x_{0}\leq 1+m$ và từ (1) ta được $\left | y_{0}+1 \right |=\frac{1}{\left | x_{0} -1\right |}$$=>y_{0}=\frac{\pm 1}{\left | x_{0} -1\right |}-1$

Kết luận: * $m\leq 0$ $=>$ hệ bất phương trình vô nghiệm

               * $m>0$ $=>$ hệ bất phương trình có vô số nghiệm $(x;y)=(a;\frac{\pm 1}{\left | a-1 \right |}+1)$ với $1-m\leq a\leq m+1$ hay $\left | a-1 \right |\leq m$.

 

[Tru09]

Bài làm :

Từ Phương Trình (1) $\Rightarrow x \neq 1 , y \neq -1$

Từ Phương Trình (1) $\Rightarrow |x-1| .|y+1| =1 \Rightarrow |x-1| =\frac{1}{|y+1|}$

$\Rightarrow x =\frac{1}{|y+1|}+1 hoặc x= \frac{-1}{|y+1|} +1$ 

Thay vào Phương trình (2) $ \Rightarrow \frac{1}{|y+1|} -m|y+1| \leq m-1$

$\Leftrightarrow 1-m(y+1)^2 \leq (m-1)|y+1|$

$\Leftrightarrow m(y+1)^2 +(m-1)|y+1| -1\geq 0$

$\Leftrightarrow (|y+1|+1)(m|y+1|-1) \geq 0$

Ta có $ |y+1| +1 \geq 0 \forall y $

Nếu m \leq 0 \Rightarrow hệ bất phương trình vô nghiệm.

Nếu m >0

$\Rightarrow |y+1| \geq \frac{1}{m}$

$\Rightarrow y \geq \frac{1}{m}-1$ hoặc $ y \leq \frac{-1}{m} -1 $

Và $x=\frac{1}{y+1}+1 hoặc x =\frac{-1}{y+1} +1$

( $y \neq -1$)

Tóm lại với $m \leq 0 \Rightarrow$ Hệ bất phương trình vô nghiệm.

Với $m > 0 \Rightarrow$ hệ bất phương trình có nghiệm (x,y) =($\frac{\pm1}{y+1}+1,$ $y \neq -1$ và$ y \geq \frac{1}{m} -1$ hoặc $ y \leq \frac{-1}{m}-1$) ,

 

 

 

[tienthcsln]

Giải và biện luận hệ bất phương trình 

$$\left\{\begin{matrix} \left | x-y+xy-1 \right |=1\\ \left | x-1 \right |-m\left | y+1 \right |\leq m-1 \end{matrix}\right.$$ (*)

Toán thủ ra đề 

cuongt1k23

Bài làm của MO 02

Ta có:

(*)$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} |(x-1)(y+1)|=1\\ |x-1| -m|y+1|\leq m-1 \end{matrix}\right.$

Đặt $a=|x-1|, b=|y+1|$, ta có: $a,b >0$ và hệ trên viết thành:

$\left\{\begin{matrix} ab=1\\a-mb\leq m-1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab=1\\a-\frac{m}{a}\leq m-1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab=1\\a^2-m\leq ma-a \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab=1\\(a+1)(a-m) \leq 0      (2)\end{matrix}\right.$ 

(2)$\Leftrightarrow min${-1;m} $\leq a \leq max${-1;m}

 - Nếu $m \leq 0$ thì $max${-1;m} $\leq0 \Rightarrow a\leq 0$, hệ vô nghiệm do $a>0$

 - Nếu $ m>0$ thì $max${-1;m} $= m >0$, kết hợp với điều kiện $a>0$, (2) $\Leftrightarrow 0< a \leq m$

tức là $0<|x-1| \geq m $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 1\\ 1-m \leq x \leq m +1 \end{matrix}\right.$

Với $0<a\leq m$, ta có $b\geq \frac{1}{m} >0$ tức là $\left\{\begin{matrix}|y+1|\geq \frac{1}{m}\\|y+1| >0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-1-\frac{1}{m} \leq y\leq \frac{1}{m}-1\\y\neq -1\end{matrix}\right. $

Kết luận: - Nếu $m\leq 0$ thì hệ đã cho vô nghiệm.

               - Nếu $m>0$ thì nghiệm của hệ là: $\left\{\begin{matrix} 1-m \leq x \leq 1+m, x\neq 1\\ -1-\frac{1}{m} \leq y \leq -1 +\frac{1}{m}, y\neq -1 \end{matrix}\right.$

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau