Chủ đề này có 1 trả lời

[hihi2zz]

Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $x^4+y^4+(xy+1)^2=2$.Tìm GTLN và GTNN của: $P=x^3+y^3+3(x+y)$

[Hoang Tung 126]

Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $x^4+y^4+(xy+1)^2=2$.Tìm GTLN và GTNN của: $P=x^3+y^3+3(x+y)$

Ta có:$x^4+y^4+(xy+1)^2=2= > (x^2+y^2)^2=(xy-1)^2= > x^2+y^2=1-xy= > x^2+xy+y^2=1$

 $P=(x+y)(x^2-xy+y^2+3)=(x+y)(x^2+xy+y^2+3-2xy)=(x+y)(4-2xy)=2(x+y)(2-xy)$

 Do $x^2+xy+y^2=1= > (x+y)^2+(2-xy)=3$.Đặt $(x+y)=a,2-xy=b= > P=2ab$

Theo AM-GM có:$3=a^2+b=a^2+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ab)^2}{4}}= >-2\leq ab\leq 2$