Chủ đề này có 7 trả lời

[legialoi]

Cho a,b,c là 3 số dương sao cho a + b+ c = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = $\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}$ .

[bach7a5018]

Theo BĐT AM-GM ta có:

$A = \frac{1}{2}.\left[ {\left( {\frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b}} \right) + \left( {\frac{{ab}}{c} + \frac{{cb}}{a}} \right) + \left( {\frac{{ab}}{c} + \frac{{ac}}{b}} \right)} \right] \ge \frac{1}{2}.\left( {2\sqrt {\frac{{bc.ac}}{{ab}}}  + 2\sqrt {\frac{{ab.cb}}{{ca}}}  + 2\sqrt {\frac{{ab.ac}}{{bc}}} } \right) = \frac{1}{2}.\left( {2{\rm{a}} + 2b + 2c} \right) = a + b + c = 1$

Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \frac{{bc}}{a} = \frac{{ab}}{c} = \frac{{ac}}{b} \Leftrightarrow \frac{{abc}}{{{a^2}}} = \frac{{abc}}{{{c^2}}} = \frac{{abc}}{{{b^2}}} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} = {c^2} \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$ ( do a+b+c=1 )

Vậy A_min=1$ \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$ 

[bach7a5018]

Cho a,b,c là 3 số dương sao cho a + b+ c = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = $\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}$ .

bài này mình còn 3 cách nữa bạn có muốn tham khảo ko?

[legialoi]

bài này mình còn 3 cách nữa bạn có muốn tham khảo ko?

Có cách nào hay đưa ra mọi người cùng  tham khảo

[bach7a5018]

Cách 2

Ta có: $\frac{{bc}}{a} + \frac{{ac}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge a + b + c \Leftrightarrow \frac{{{b^2}{c^2} + {a^2}{c^2} + {a^2}{b^2}}}{{abc}} \ge a + b + c \Leftrightarrow {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2} + {a^2}{b^2} \ge abc\left( {a + b + c} \right) \Leftrightarrow 2{b^2}{c^2} + 2{a^2}{c^2} + 2{a^2}{b^2} - 2abc\left( {a + b + c} \right) \Leftrightarrow {\left( {bc - ac} \right)^2} - {\left( {ac - ab} \right)^2} + {\left( {bc - ab} \right)^2} \ge 0 = 1$ luôn đúng

Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$

Vậy A_min=1$ \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bach7a5018: 30-03-2014 - 21:36

[bach7a5018]

Theo BĐT AM-GM ta có: 

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt {\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}  = 2 \Rightarrow c\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) \ge 2c \Rightarrow \frac{{ac}}{b} + \frac{{bc}}{a} \ge 2c$

Tương tự: $\frac{{ac}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge 2a$ và $\frac{{bc}}{a} + \frac{{ab}}{c} \ge 2c$

$ \Rightarrow 2{\rm{A}} \ge 2\left( {a + b + c} \right) \Rightarrow A \ge 1$

Vậy A_min=1$ \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$

[bach7a5018]

Theo BĐT AM-GM ta có:

$2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) \ge 2\left[ {\left( {ab} \right).\left( {bc} \right) + \left( {bc} \right).\left( {ca} \right) + \left( {ca} \right).\left( {ab} \right)} \right] = 2{\rm{a}}bc\left( {a + b + c} \right)$$ \Rightarrow \frac{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}{{abc}} \ge a + b + c \Rightarrow \frac{{ab}}{c} + \frac{{ac}}{b} + \frac{{bc}}{a} \ge a + b + c \Rightarrow A \ge 1$

Vậy A_min=1$ \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$

[bach7a5018]

Có cách nào hay đưa ra mọi người cùng  tham khảo

đấy mình đã post rồi đấy, nếu đọc hay thì like cho mình nhé