Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\left | x^2-y^2+2\sqrt{3}xy-2(1+2\sqrt{3})x+(4-2\sqrt{3})y+4\sqrt{3}-3\right |\leq 2$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 baonhikt96

baonhikt96

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 29-03-2014 - 11:54

1)cho x,y,z là các số thực thỏa $x+y+z=0$;x+1>0;y+1>0;z+4>0 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$Q=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}$

2)cho x, y là các số thực thỏa mãn : $x^2+y^2-2x-4y+4=0$ CMR:

$\left | x^2-y^2+2\sqrt{3}xy-2(1+2\sqrt{3})x+(4-2\sqrt{3})y+4\sqrt{3}-3\right |\leq 2$



#2 RainThunde

RainThunde

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 01-04-2014 - 01:50

1) Trước hết ta chứng minh $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}$ với x, y > -1.

Sau khi biến đổi (với x, y > -1), bất đẳng thức trên tương đương với $(x-y)^2\geq0$.

 

Ta có:

$Q=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}$

$\leq2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}+\frac{z}{z+4}=\frac{2z}{z-2}+\frac{z}{z+4}$

eq1_zps206570e0.jpg

 

Ta có $x>-1$, $y>-1$ nên $z<2$.

 

Lập bảng biến thiên hàm eq3_zps0512c46a.jpg trong khoảng (-4,2), ta tìm được GTLN của Q là $\frac{1}{3}$, xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$, $z=-1$

 
2) $x^2+y^2-2x-4y+4=0\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=1$. Đặt $x-1=a$, $y-2=b\Rightarrow a^2+b^2=1$
 
$|x^2-y^2+2\sqrt{3}xy-2(1+2\sqrt{3})x+(4-2\sqrt{3})y+4\sqrt{3}-3|=|a^2-b^2+2\sqrt{3}ab|$.
 
Theo BĐT Cauchy - Schwarz:
$|a^2-b^2+2\sqrt{3}ab|$
$\leq\sqrt{[(a^2-b^2)^2+4a^2b^2][1+(\sqrt{3})^2]}$
$=\sqrt{4(a^2+b^2)^2}=2$
 
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $b=\frac{1}{2}$ hay $x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}$, $y=\frac{5}{2}$
Nhận xét: Bài này có thể lượng giác hóa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RainThunde: 01-04-2014 - 02:45


#3 baonhikt96

baonhikt96

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 18-04-2014 - 15:02

 

1) Trước hết ta chứng minh $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}$ với x, y > -1.

Sau khi biến đổi (với x, y > -1), bất đẳng thức trên tương đương với $(x-y)^2\geq0$.

 

Ta có:

$Q=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}$

$\leq2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}+\frac{z}{z+4}=\frac{2z}{z-2}+\frac{z}{z+4}$

eq1_zps206570e0.jpg

 

Ta có $x>-1$, $y>-1$ nên $z<2$.

 

Lập bảng biến thiên hàm eq3_zps0512c46a.jpg trong khoảng (-4,2), ta tìm được GTLN của Q là $\frac{1}{3}$, xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$, $z=-1$

 
2) $x^2+y^2-2x-4y+4=0\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=1$. Đặt $x-1=a$, $y-2=b\Rightarrow a^2+b^2=1$
 
$|x^2-y^2+2\sqrt{3}xy-2(1+2\sqrt{3})x+(4-2\sqrt{3})y+4\sqrt{3}-3|=|a^2-b^2+2\sqrt{3}ab|$.
 
Theo BĐT Cauchy - Schwarz:
$|a^2-b^2+2\sqrt{3}ab|$
$\leq\sqrt{[(a^2-b^2)^2+4a^2b^2][1+(\sqrt{3})^2]}$
$=\sqrt{4(a^2+b^2)^2}=2$
 
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $b=\frac{1}{2}$ hay $x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}$, $y=\frac{5}{2}$
Nhận xét: Bài này có thể lượng giác hóa.

 

có thể giúp e biến đổi chỗ này không em biến đổi mãi mà không ra



#4 RainThunde

RainThunde

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 19-04-2014 - 02:32

có thể giúp e biến đổi chỗ này không em biến đổi mãi mà không ra

Do x + 1 > 0, y + 1 > 0, $\Rightarrow \frac{x+y}{2}+1>0$. Ta có:
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq 2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}$
$\Leftrightarrow \frac{xy+x+xy+y}{(x+1)(y+1)}\leq \frac{2(x+y)}{x+y+2}$

$\Leftrightarrow (2xy+x+y)(x+y+2)\leq 2(x+y)(xy+x+y+1)$

$\Leftrightarrow 2xy(x+y)+(x+y)^2+4xy+2(x+y)\leq 2xy(x+y)+2(x+y)^2+2(x+y)$

$\Leftrightarrow 4xy\leq (x+y)^2\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0$



#5 Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 16-08-2015 - 07:11

còn cách làm nào khác không ạ?







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh