Chủ đề này có 4 trả lời

[baonhikt96]

1)cho x,y,z là các số thực thỏa $x+y+z=0$;x+1>0;y+1>0;z+4>0 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$Q=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}$

2)cho x, y là các số thực thỏa mãn : $x^2+y^2-2x-4y+4=0$ CMR:

$\left | x^2-y^2+2\sqrt{3}xy-2(1+2\sqrt{3})x+(4-2\sqrt{3})y+4\sqrt{3}-3\right |\leq 2$

[RainThunde]

1) Trước hết ta chứng minh $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}$ với x, y > -1.

Sau khi biến đổi (với x, y > -1), bất đẳng thức trên tương đương với $(x-y)^2\geq0$.

 

Ta có:

$Q=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}$

$\leq2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}+\frac{z}{z+4}=\frac{2z}{z-2}+\frac{z}{z+4}$

 

Ta có $x>-1$, $y>-1$ nên $z<2$.

 

Lập bảng biến thiên hàm  trong khoảng (-4,2), ta tìm được GTLN của Q là $\frac{1}{3}$, xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$, $z=-1$

 

2) $x^2+y^2-2x-4y+4=0\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=1$. Đặt $x-1=a$, $y-2=b\Rightarrow a^2+b^2=1$

 

$|x^2-y^2+2\sqrt{3}xy-2(1+2\sqrt{3})x+(4-2\sqrt{3})y+4\sqrt{3}-3|=|a^2-b^2+2\sqrt{3}ab|$.

 

Theo BĐT Cauchy - Schwarz:

$|a^2-b^2+2\sqrt{3}ab|$

$\leq\sqrt{[(a^2-b^2)^2+4a^2b^2][1+(\sqrt{3})^2]}$

$=\sqrt{4(a^2+b^2)^2}=2$

 

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $b=\frac{1}{2}$ hay $x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}$, $y=\frac{5}{2}$

Nhận xét: Bài này có thể lượng giác hóa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RainThunde: 01-04-2014 - 02:45

[baonhikt96]

 

1) Trước hết ta chứng minh $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}$ với x, y > -1.

Sau khi biến đổi (với x, y > -1), bất đẳng thức trên tương đương với $(x-y)^2\geq0$.

 

Ta có:

$Q=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}$

$\leq2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}+\frac{z}{z+4}=\frac{2z}{z-2}+\frac{z}{z+4}$

 

Ta có $x>-1$, $y>-1$ nên $z<2$.

 

Lập bảng biến thiên hàm  trong khoảng (-4,2), ta tìm được GTLN của Q là $\frac{1}{3}$, xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$, $z=-1$

 

2) $x^2+y^2-2x-4y+4=0\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=1$. Đặt $x-1=a$, $y-2=b\Rightarrow a^2+b^2=1$

 

$|x^2-y^2+2\sqrt{3}xy-2(1+2\sqrt{3})x+(4-2\sqrt{3})y+4\sqrt{3}-3|=|a^2-b^2+2\sqrt{3}ab|$.

 

Theo BĐT Cauchy - Schwarz:

$|a^2-b^2+2\sqrt{3}ab|$

$\leq\sqrt{[(a^2-b^2)^2+4a^2b^2][1+(\sqrt{3})^2]}$

$=\sqrt{4(a^2+b^2)^2}=2$

 

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $b=\frac{1}{2}$ hay $x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}$, $y=\frac{5}{2}$

Nhận xét: Bài này có thể lượng giác hóa.

 

có thể giúp e biến đổi chỗ này không em biến đổi mãi mà không ra

[RainThunde]

có thể giúp e biến đổi chỗ này không em biến đổi mãi mà không ra

Do x + 1 > 0, y + 1 > 0, $\Rightarrow \frac{x+y}{2}+1>0$. Ta có:
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq 2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}$
$\Leftrightarrow \frac{xy+x+xy+y}{(x+1)(y+1)}\leq \frac{2(x+y)}{x+y+2}$

$\Leftrightarrow (2xy+x+y)(x+y+2)\leq 2(x+y)(xy+x+y+1)$

$\Leftrightarrow 2xy(x+y)+(x+y)^2+4xy+2(x+y)\leq 2xy(x+y)+2(x+y)^2+2(x+y)$

$\Leftrightarrow 4xy\leq (x+y)^2\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0$

[Element hero Neos]

còn cách làm nào khác không ạ?