Chủ đề này có 5 trả lời

[phamquanglam]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1

CMR: $5(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq 6(a^{3}+b^{3}+c^{3})+1$

[buitudong1998]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1

CMR: $5(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq 6(a^{3}+b^{3}+c^{3})+1$

Đổi biến theo p, q, r

$BDT\Leftrightarrow 5(1-2q)\leqslant 6(1-3q+3r)+1\Leftrightarrow 9r-4q+1\geqslant 0$

Mà $9r\geqslant p(4q-p^{2})=4q-1(DPCM)$

[phuocdinh1999]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1

CMR: $5(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq 6(a^{3}+b^{3}+c^{3})+1

Đồng bậc BĐT: $5(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\leq 6(a^3+b^3+c^3)+(a+b+c)^3$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

BĐT cuối đúng theo SCHUR bậc $3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 30-03-2014 - 06:49

[Yagami Raito]

Đổi biến theo p, q, r

$BDT\Leftrightarrow 5(1-2q)\leqslant 6(1-3q+3r)+1\Leftrightarrow 9r-4q+1\geqslant 0$

Mà $9r\geqslant p(4q-p^{2})=4q-1(DPCM)$

@Xin phép spam: Em có đọc qua một số tài liệu nhưng vẫn không hiểu.... Anh có thể giải thích cho em làm thế nào để biết mà đổi biến như trên không ạ ? 

[buitudong1998]

@Xin phép spam: Em có đọc qua một số tài liệu nhưng vẫn không hiểu.... Anh có thể giải thích cho em làm thế nào để biết mà đổi biến như trên không ạ ? 

Đổi biến như trên khi BĐT cần CM chứa các thành phần có thể biểu diễn theo a+b+c, ab+bc+ca, abc

P/s: Không phải lúc nào đổi biến cũng thành công

[phamquanglam]

Thì $(a+b+c)^{3}=3(a+b+c)(ab+bc+ca)+a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=1$

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2(ab+bc+ca)=1$

Sau đó đặt a+b+c=p=1, ab+bc+ca=q, abc=r

Ta có BĐT thành $5(1-2q)\leq 6(1-3pq+3r)+1$

$\Leftrightarrow r\geq \frac{4q-1}{9}$

Cái này luôn đúng với BĐT Schur $\sum a(a-b)(a-c)\geq 0$