Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tính $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n^6}{n^4}.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 29-03-2014 - 23:27

Cho dãy $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ với $x_0\ge 0$ và xác định bởi $\sqrt{x_n}=\frac{x_n-x_{n+1}+1}{x_{n+1}-x_n}$. Tính $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n^6}{n^4}.$


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 05-10-2017 - 09:47

Cho dãy $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ với $x_0\ge 0$ và xác định bởi $\sqrt{x_n}=\frac{x_n-x_{n+1}+1}{x_{n+1}-x_n}$. Tính $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n^6}{n^4}.$

 

Hệ thức truy hồi được viết lại: $x_{n+1}=\frac{\sqrt{x_n}^3+x_n+1}{\sqrt{x_n}+1}.$

 

Dễ thấy $\{x_n\}$ tăng và không bị chặn. Vì thế $\lim x_n=\infty$.

 

Xét $\sqrt{x_{n+1}^3}-\sqrt{x_{n}^3}= \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x_n}^3+x_n+1}{\sqrt{x_n}+1}\right)^3}-\sqrt{x_{n}^3}.$

 

 

 

Ta thử tính $\lim_{x\to \infty}\left( \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}-\sqrt{x^3}\right).$

 

Đặt $f(x)= \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}+\sqrt{x^3}.$

 

$\lim_{x\to \infty}\left( \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}-\sqrt{x^3}\right)=\lim_{x\to \infty}\frac{ \left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3-\sqrt{x^3}}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}+\sqrt{x^3}}$

 

$=\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x}^9 + 3\sqrt{x}^8 + 3\sqrt{x}^7 + 3\sqrt{x}^6 + 3\sqrt{x}^5 + 2\sqrt{x}^3 + 3\sqrt{x}^2 + 1}{(\sqrt{x}+1)^3f(x)}=1.$

 

Suy ra $\lim \left(\sqrt{x_{n+1}^3}-\sqrt{x_{n}^3}\right)=1.$ Do đó, theo Césaro, $\lim \frac{\sqrt{x_n^3}}{n}=1.$ Vì thế $\lim \frac{x_n^6}{n^4}=1.$ 


Đời người là một hành trình...


#3 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-10-2017 - 20:33

Hệ thức truy hồi được viết lại: $x_{n+1}=\frac{\sqrt{x_n}^3+x_n+1}{\sqrt{x_n}+1}.$

 

Dễ thấy $\{x_n\}$ tăng và không bị chặn. Vì thế $\lim x_n=\infty$.

 

Xét $\sqrt{x_{n+1}^3}-\sqrt{x_{n}^3}= \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x_n}^3+x_n+1}{\sqrt{x_n}+1}\right)^3}-\sqrt{x_{n}^3}.$

 

 

 

Ta thử tính $\lim_{x\to \infty}\left( \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}-\sqrt{x^3}\right).$

 

Đặt $f(x)= \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}+\sqrt{x^3}.$

 

$\lim_{x\to \infty}\left( \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}-\sqrt{x^3}\right)=\lim_{x\to \infty}\frac{ \left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3-\sqrt{x^3}}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}+\sqrt{x^3}}$

 

$=\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x}^9 + 3\sqrt{x}^8 + 3\sqrt{x}^7 + 3\sqrt{x}^6 + 3\sqrt{x}^5 + 2\sqrt{x}^3 + 3\sqrt{x}^2 + 1}{(\sqrt{x}+1)^3f(x)}=1.$

 

Suy ra $\lim \left(\sqrt{x_{n+1}^3}-\sqrt{x_{n}^3}\right)=1.$ Do đó, theo Césaro, $\lim \frac{\sqrt{x_n^3}}{n}=1.$ Vì thế $\lim \frac{x_n^6}{n^4}=1.$ 

Bạn làm đúng ý tưởng cơ bản của những bài sử dụng định lí Cesàro rồi, nhưng bạn thử kiểm tra lại cái giới hạn xem. Có vẻ nó không giống máy tính 

 

http://www.wolframal..., x = infinity)


$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#4 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 15-10-2017 - 05:54

/

Bạn làm đúng ý tưởng cơ bản của những bài sử dụng định lí Cesàro rồi, nhưng bạn thử kiểm tra lại cái giới hạn xem. Có vẻ nó không giống máy tính 

 

http://www.wolframal..., x = infinity)

 
Thanks! Nhầm lẫn ở chỗ nhân lượng liên hiệp mà quên bình phương (chỗ đóng khung).

 

 

 

$\lim_{x\to \infty}\left( \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}-\sqrt{x^3}\right)=\lim_{x\to \infty}\frac{ \left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3-\fbox{\sqrt{x^3}}}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}^3+x+1}{\sqrt{x}+1}\right)^3}+\sqrt{x^3}}$

 

 

 


Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh