Đến nội dung

Hình ảnh

$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{4sin^3x}{1+cos^4x}dx$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
yeumontoan

yeumontoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

tính tích phân: 

$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{4sin^3x}{1+cos^4x}dx$


TOÁN HỌC LÀ CƠ SỞ CỦA MỌI NGÀNH KHOA HỌC. 


#2
nucnt772

nucnt772

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 209 Bài viết

tính tích phân: 

$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{4sin^3x}{1+cos^4x}dx$

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{4sin^{3}x}{1+cos^{4}x}dx$ $=4\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1-cos^{2}x}{1+cos^{4}x}sinxdx$

 

Đặt $t=cosx$ $\Rightarrow dt=-sinxdx$

đổi cận:

$x=0\Rightarrow t=1$

$x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=\frac{\sqrt{2}}{2}$

 

$\Rightarrow I=4\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{1-t^{2}}{1+t^{4}}dt$ $=-4\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{t^{2}-1}{t^{4}+1}dt$

 

$=-4\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{1-\frac{1}{t^{2}}}{t^{2}+\frac{1}{t^{2}}}dt$ $=-4\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}\frac{1-\frac{1}{t^{2}}}{(t+\frac{1}{t})^{2}-2}dt$

 

 

đặt: $u=t+\frac{1}{t}$ $\Rightarrow$ $du=(1-\frac{1}{t^{2}})dt$

 

đổi cận:

$t=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow u=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

 

$t=1\Rightarrow u=2$

 

$\Rightarrow I=4\int_{2}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}\frac{du}{u^{2}-2}$ $=\sqrt{2}\int_{2}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}(\frac{1}{u-\sqrt{2}}-\frac{1}{u+\sqrt{2}})du$

 

$=\sqrt{2}ln|\frac{u-\sqrt{2}}{u+\sqrt{2}}|$

 

tới đây thay cận vô ta được kết quả là: $I=\sqrt{2}ln\frac{3+2\sqrt{2}}{5}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 30-03-2014 - 14:01

cnt




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh