Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN của $A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bluered: 30-03-2014 - 15:29
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN của $A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bluered: 30-03-2014 - 15:29
$(xy+yz+zx)\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3}$
Ta có: $A=\frac{2}{2(xy+yz+zx)}+\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$$\geq \frac{8}{2(xy+yz+zx)+x^2+y^2+z^2}+\frac{2}{xy+yz+zx}\geq \frac{8}{1}+\frac{2}{\frac{1}{3}}= 14$ Dấu = khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
mình đọc chưa kỹ, nhưng dấu bằng có xảy ra đâu. Khi x=y=z=1/3 thì A=15 mà
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bluered: 30-03-2014 - 16:06
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN của $A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$
$A=\frac{1}{\sum x^{2}}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}$$+\frac{1}{\sum x^{2}}$$\geqslant \frac{9}{(x+y+z)^{2}}+6=15$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 30-03-2014 - 19:00
$A=\frac{1}{\sum x^{2}}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}\geqslant \frac{9}{(x+y+z)^{2}}+3=15$
9+3=12 mất rồi bạn ơi
Đã fix
Đã fix
$\frac{1}{\sum x^{2}}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}$ $\ge \frac{9}{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}$ và 1/(xy+yz+zx)>=3 thì mình hiểu, nhưng 1/(x^2+y^2+z^2)>=3 thì chưa hiểu bạn à
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bluered: 30-03-2014 - 20:51
$\frac{1}{\sum x^{2}}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}$ $\ge \frac{9}{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}$ và 1/(xy+yz+zx)>=3 thì mình hiểu, nhưng 1/(x^2+y^2+z^2)>=3 thì chưa hiểu bạn à
Sửa lại :
Ta có: $A=\frac{3}{\sum xy}+\frac{2}{\sum x^{2}}=\frac{3}{\sum xy}+\frac{2}{1-2\sum xy}$; đặt $\sum xy=a$
Tới đây dùng miền giá trị để giải, đáp số là $8+4\sqrt{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 31-03-2014 - 18:56
Sửa lại :
Ta có: $A=\frac{3}{\sum xy}+\frac{2}{\sum x^{2}}=\frac{3}{\sum xy}+\frac{2}{1-2\sum xy}$; đặt $\sum xy=a$
Tới đây dùng miền giá trị để giải, đáp số là $8+4\sqrt{3}$
Cái này khó quá, bạn giải chi tiết cho tớ với
Cái này khó quá, bạn giải chi tiết cho tớ với
$\frac{3}{a}+\frac{2}{1-2a}=A\rightarrow 3-4a=Aa-2Aa^{2}\rightarrow 2Aa^{2}-a(A+4)+3=0\rightarrow \Delta =A^{2}-16A+16\geqslant 0\rightarrow A\geqslant 8+4\sqrt{3}$
$\frac{3}{a}+\frac{2}{1-2a}=A\rightarrow 3-4a=Aa-2Aa^{2}\rightarrow 2Aa^{2}-a(A+4)+3=0\rightarrow \Delta =A^{2}-16A+16\geqslant 0\rightarrow A\geqslant 8+4\sqrt{3}$
Bây giờ thì đúng thật, nhưng có lẽ chỉ chứng minh tồn tại giá trị của a trong khoảng (0;1/3] này thay cho việc chỉ cụ thể giá trị của x,y,z bạn nhỉ. Bài làm vậy liệu có được điểm tối đa không bạn!
$(xy+yz+zx)\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3}$
Ta có: $A=\frac{2}{2(xy+yz+zx)}+\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$$\geq \frac{8}{2(xy+yz+zx)+x^2+y^2+z^2}+\frac{2}{xy+yz+zx}\geq \frac{8}{1}+\frac{2}{\frac{1}{3}}= 14$ Dấu = khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Mình nghĩ dấu ''='' không xảy ra bạn ơi !
Bài này mình làm thế này mọi người xem ổn không nhé :
$A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2xy+2yz+2zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$
Tới đây sử dụng bất đẳng thức Schur ta có :
$A\geq \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(x+y+z)^2}$
$ =(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=8+4\sqrt{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ham học toán hơn: 01-04-2014 - 05:59
Bài này mình làm thế này mọi người xem ổn không nhé :
$A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2xy+2yz+2zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$
Tới đây sử dụng bất đẳng thức Schur ta có :
$A\geq \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(x+y+z)^2}$
$ =(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=8+4\sqrt{3}$
đấy là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz chứ bạn!
Bài này mình làm thế này mọi người xem ổn không nhé :
$A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2xy+2yz+2zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$
Tới đây sử dụng bất đẳng thức Schur ta có :
$A\geq \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(x+y+z)^2}$
$ =(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=8+4\sqrt{3}$
Dấu = không xảy ra
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh