Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm min của $A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1
bluered

bluered

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN của $A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bluered: 30-03-2014 - 15:29


#2
HoangHungChelski

HoangHungChelski

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 283 Bài viết

$(xy+yz+zx)\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3}$
Ta có: $A=\frac{2}{2(xy+yz+zx)}+\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$$\geq \frac{8}{2(xy+yz+zx)+x^2+y^2+z^2}+\frac{2}{xy+yz+zx}\geq \frac{8}{1}+\frac{2}{\frac{1}{3}}= 14$ Dấu = khi $x=y=z=\frac{1}{3}$


$$\boxed{\text{When is (xy+1)(yz+1)(zx+1) a Square?}}$$                                


#3
bluered

bluered

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

mình đọc chưa kỹ, nhưng  dấu bằng có xảy ra đâu. Khi x=y=z=1/3 thì A=15 mà 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bluered: 30-03-2014 - 16:06


#4
buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN của $A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$

$A=\frac{1}{\sum x^{2}}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}$$+\frac{1}{\sum x^{2}}$$\geqslant \frac{9}{(x+y+z)^{2}}+6=15$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 30-03-2014 - 19:00

Đứng dậy và bước tiếp

#5
bluered

bluered

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

$A=\frac{1}{\sum x^{2}}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}\geqslant \frac{9}{(x+y+z)^{2}}+3=15$

9+3=12 mất rồi bạn ơi



#6
buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết

9+3=12 mất rồi bạn ơi

Đã fix


Đứng dậy và bước tiếp

#7
bluered

bluered

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

Đã fix

 

Đã fix

$\frac{1}{\sum x^{2}}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}$ $\ge \frac{9}{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}$ và 1/(xy+yz+zx)>=3 thì mình hiểu, nhưng 1/(x^2+y^2+z^2)>=3 thì chưa hiểu bạn à


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bluered: 30-03-2014 - 20:51


#8
buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết

$\frac{1}{\sum x^{2}}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}$ $\ge \frac{9}{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}$ và 1/(xy+yz+zx)>=3 thì mình hiểu, nhưng 1/(x^2+y^2+z^2)>=3 thì chưa hiểu bạn à

Sửa lại : 

Ta có: $A=\frac{3}{\sum xy}+\frac{2}{\sum x^{2}}=\frac{3}{\sum xy}+\frac{2}{1-2\sum xy}$; đặt $\sum xy=a$

Tới đây dùng miền giá trị để giải, đáp số là $8+4\sqrt{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 31-03-2014 - 18:56

Đứng dậy và bước tiếp

#9
bluered

bluered

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

Sửa lại : 

Ta có: $A=\frac{3}{\sum xy}+\frac{2}{\sum x^{2}}=\frac{3}{\sum xy}+\frac{2}{1-2\sum xy}$; đặt $\sum xy=a$

Tới đây dùng miền giá trị để giải, đáp số là $8+4\sqrt{3}$

Cái này khó quá, bạn giải chi tiết cho tớ với



#10
buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết

Cái này khó quá, bạn giải chi tiết cho tớ với

$\frac{3}{a}+\frac{2}{1-2a}=A\rightarrow 3-4a=Aa-2Aa^{2}\rightarrow 2Aa^{2}-a(A+4)+3=0\rightarrow \Delta =A^{2}-16A+16\geqslant 0\rightarrow A\geqslant 8+4\sqrt{3}$


Đứng dậy và bước tiếp

#11
bluered

bluered

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

$\frac{3}{a}+\frac{2}{1-2a}=A\rightarrow 3-4a=Aa-2Aa^{2}\rightarrow 2Aa^{2}-a(A+4)+3=0\rightarrow \Delta =A^{2}-16A+16\geqslant 0\rightarrow A\geqslant 8+4\sqrt{3}$

Bây giờ thì đúng thật, nhưng có lẽ chỉ chứng minh tồn tại giá trị của a trong khoảng (0;1/3] này thay cho việc chỉ cụ thể giá trị của x,y,z bạn nhỉ. Bài làm vậy liệu có được điểm tối đa không bạn! 



#12
buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết

Bây giờ thì đúng thật, nhưng có lẽ chỉ chứng minh tồn tại giá trị của a trong khoảng (0;1/3] này thay cho việc chỉ cụ thể giá trị của x,y,z bạn nhỉ. Bài làm vậy liệu có được điểm tối đa không bạn! 


Đứng dậy và bước tiếp

#13
Ham học toán hơn

Ham học toán hơn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

$(xy+yz+zx)\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3}$
Ta có: $A=\frac{2}{2(xy+yz+zx)}+\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$$\geq \frac{8}{2(xy+yz+zx)+x^2+y^2+z^2}+\frac{2}{xy+yz+zx}\geq \frac{8}{1}+\frac{2}{\frac{1}{3}}= 14$ Dấu = khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Mình nghĩ dấu ''='' không xảy ra bạn ơi !


新一工藤 - コナン江戸川

#14
Ham học toán hơn

Ham học toán hơn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

Bài này mình làm thế này mọi người xem ổn không nhé :

$A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2xy+2yz+2zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$

Tới đây sử dụng bất đẳng thức Schur ta có :

$A\geq \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(x+y+z)^2}$

$ =(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=8+4\sqrt{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ham học toán hơn: 01-04-2014 - 05:59

新一工藤 - コナン江戸川

#15
HoangHungChelski

HoangHungChelski

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 283 Bài viết

Bài này mình làm thế này mọi người xem ổn không nhé :

$A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2xy+2yz+2zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$

Tới đây sử dụng bất đẳng thức Schur ta có :

$A\geq \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(x+y+z)^2}$

$ =(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=8+4\sqrt{3}$

đấy là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz chứ bạn! 


$$\boxed{\text{When is (xy+1)(yz+1)(zx+1) a Square?}}$$                                


#16
Ham học toán hơn

Ham học toán hơn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

đấy là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz chứ bạn! 

MÌnh cũng chả biết. Có người gọi nó là bất đẳng thức Bunhia dạng phân thức nữa chứ ! ????


新一工藤 - コナン江戸川

#17
bluered

bluered

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết

Bài này mình làm thế này mọi người xem ổn không nhé :

$A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2xy+2yz+2zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$

Tới đây sử dụng bất đẳng thức Schur ta có :

$A\geq \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(x+y+z)^2}$

$ =(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=8+4\sqrt{3}$

Dấu = không xảy ra :(






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh