Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm min của $A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1 bluered

bluered

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-03-2014 - 15:25

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN của $A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bluered: 30-03-2014 - 15:29


#2 HoangHungChelski

HoangHungChelski

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 283 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương
  • Sở thích:$\mathfrak{Combinatorics}$ , $\mathfrak{NumberTheory}$

Đã gửi 30-03-2014 - 15:41

$(xy+yz+zx)\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3}$
Ta có: $A=\frac{2}{2(xy+yz+zx)}+\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$$\geq \frac{8}{2(xy+yz+zx)+x^2+y^2+z^2}+\frac{2}{xy+yz+zx}\geq \frac{8}{1}+\frac{2}{\frac{1}{3}}= 14$ Dấu = khi $x=y=z=\frac{1}{3}$


$$\boxed{\text{When is (xy+1)(yz+1)(zx+1) a Square?}}$$                                


#3 bluered

bluered

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-03-2014 - 15:51

mình đọc chưa kỹ, nhưng  dấu bằng có xảy ra đâu. Khi x=y=z=1/3 thì A=15 mà 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bluered: 30-03-2014 - 16:06


#4 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 30-03-2014 - 16:26

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN của $A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$

$A=\frac{1}{\sum x^{2}}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}$$+\frac{1}{\sum x^{2}}$$\geqslant \frac{9}{(x+y+z)^{2}}+6=15$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 30-03-2014 - 19:00

Đứng dậy và bước tiếp

#5 bluered

bluered

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-03-2014 - 18:23

$A=\frac{1}{\sum x^{2}}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}\geqslant \frac{9}{(x+y+z)^{2}}+3=15$

9+3=12 mất rồi bạn ơi



#6 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 30-03-2014 - 19:00

9+3=12 mất rồi bạn ơi

Đã fix


Đứng dậy và bước tiếp

#7 bluered

bluered

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-03-2014 - 20:47

Đã fix

 

Đã fix

$\frac{1}{\sum x^{2}}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}$ $\ge \frac{9}{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}$ và 1/(xy+yz+zx)>=3 thì mình hiểu, nhưng 1/(x^2+y^2+z^2)>=3 thì chưa hiểu bạn à


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bluered: 30-03-2014 - 20:51


#8 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 31-03-2014 - 18:55

$\frac{1}{\sum x^{2}}+\frac{1}{\sum xy}+\frac{1}{\sum xy}$ $\ge \frac{9}{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}$ và 1/(xy+yz+zx)>=3 thì mình hiểu, nhưng 1/(x^2+y^2+z^2)>=3 thì chưa hiểu bạn à

Sửa lại : 

Ta có: $A=\frac{3}{\sum xy}+\frac{2}{\sum x^{2}}=\frac{3}{\sum xy}+\frac{2}{1-2\sum xy}$; đặt $\sum xy=a$

Tới đây dùng miền giá trị để giải, đáp số là $8+4\sqrt{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 31-03-2014 - 18:56

Đứng dậy và bước tiếp

#9 bluered

bluered

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-03-2014 - 20:08

Sửa lại : 

Ta có: $A=\frac{3}{\sum xy}+\frac{2}{\sum x^{2}}=\frac{3}{\sum xy}+\frac{2}{1-2\sum xy}$; đặt $\sum xy=a$

Tới đây dùng miền giá trị để giải, đáp số là $8+4\sqrt{3}$

Cái này khó quá, bạn giải chi tiết cho tớ với



#10 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 31-03-2014 - 20:13

Cái này khó quá, bạn giải chi tiết cho tớ với

$\frac{3}{a}+\frac{2}{1-2a}=A\rightarrow 3-4a=Aa-2Aa^{2}\rightarrow 2Aa^{2}-a(A+4)+3=0\rightarrow \Delta =A^{2}-16A+16\geqslant 0\rightarrow A\geqslant 8+4\sqrt{3}$


Đứng dậy và bước tiếp

#11 bluered

bluered

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-03-2014 - 21:35

$\frac{3}{a}+\frac{2}{1-2a}=A\rightarrow 3-4a=Aa-2Aa^{2}\rightarrow 2Aa^{2}-a(A+4)+3=0\rightarrow \Delta =A^{2}-16A+16\geqslant 0\rightarrow A\geqslant 8+4\sqrt{3}$

Bây giờ thì đúng thật, nhưng có lẽ chỉ chứng minh tồn tại giá trị của a trong khoảng (0;1/3] này thay cho việc chỉ cụ thể giá trị của x,y,z bạn nhỉ. Bài làm vậy liệu có được điểm tối đa không bạn! 



#12 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 01-04-2014 - 05:42

Bây giờ thì đúng thật, nhưng có lẽ chỉ chứng minh tồn tại giá trị của a trong khoảng (0;1/3] này thay cho việc chỉ cụ thể giá trị của x,y,z bạn nhỉ. Bài làm vậy liệu có được điểm tối đa không bạn! 


Đứng dậy và bước tiếp

#13 Ham học toán hơn

Ham học toán hơn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 01-04-2014 - 05:46

$(xy+yz+zx)\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3}$
Ta có: $A=\frac{2}{2(xy+yz+zx)}+\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$$\geq \frac{8}{2(xy+yz+zx)+x^2+y^2+z^2}+\frac{2}{xy+yz+zx}\geq \frac{8}{1}+\frac{2}{\frac{1}{3}}= 14$ Dấu = khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Mình nghĩ dấu ''='' không xảy ra bạn ơi !


新一工藤 - コナン江戸川

#14 Ham học toán hơn

Ham học toán hơn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 01-04-2014 - 05:57

Bài này mình làm thế này mọi người xem ổn không nhé :

$A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2xy+2yz+2zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$

Tới đây sử dụng bất đẳng thức Schur ta có :

$A\geq \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(x+y+z)^2}$

$ =(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=8+4\sqrt{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ham học toán hơn: 01-04-2014 - 05:59

新一工藤 - コナン江戸川

#15 HoangHungChelski

HoangHungChelski

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 283 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương
  • Sở thích:$\mathfrak{Combinatorics}$ , $\mathfrak{NumberTheory}$

Đã gửi 01-04-2014 - 14:17

Bài này mình làm thế này mọi người xem ổn không nhé :

$A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2xy+2yz+2zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$

Tới đây sử dụng bất đẳng thức Schur ta có :

$A\geq \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(x+y+z)^2}$

$ =(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=8+4\sqrt{3}$

đấy là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz chứ bạn! 


$$\boxed{\text{When is (xy+1)(yz+1)(zx+1) a Square?}}$$                                


#16 Ham học toán hơn

Ham học toán hơn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 01-04-2014 - 14:28

đấy là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz chứ bạn! 

MÌnh cũng chả biết. Có người gọi nó là bất đẳng thức Bunhia dạng phân thức nữa chứ ! ????


新一工藤 - コナン江戸川

#17 bluered

bluered

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-11-2014 - 13:47

Bài này mình làm thế này mọi người xem ổn không nhé :

$A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2xy+2yz+2zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$

Tới đây sử dụng bất đẳng thức Schur ta có :

$A\geq \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(x+y+z)^2}$

$ =(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=8+4\sqrt{3}$

Dấu = không xảy ra :(






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh