Chủ đề này có 2 trả lời

[kirito19]

1.cho hình vuông ABCD nội tiếp (O,R).Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc đường tròn (O,R) thì $MA^{4}+MB_{4}+MC^{4}+MD^{4}$ là một hằng số

2.cho góc vuông $\widehat{xOy}$ cố định.A,B là hai điểm chuyển động trên Ox,Oy sao cho OA+OB=a (a>0 cho trước).C là điểm nằm giữa AB sao cho $OA^{2}=AB.BC$.Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với AB tại C luôn đi qua một điểm cố định

[Yagami Raito]

1.cho hình vuông ABCD nội tiếp (O,R).Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc đường tròn (O,R) thì $MA^{4}+MB_{4}+MC^{4}+MD^{4}$ là một hằng số

 

               

Kẻ $MH$ và $MK$ vuông góc với $AC$ và $BD$. 

Ta có: $MA^4+MB^4+MC^4+MD^4=(MA^2+MC^2)^2+(MB^2+MD^2)^2-2MA^2.MC^2-2MB^2.MD^2$

                                                   $=AC^4+BD^4-2(2S_{AMC})^2-2(2S_{BMD})^2$

                                                   $=32R^4-2AC^2.MH^2-2BD^2.MK^2$

                                                   $=32R^4-2.AC^2(MH^2+MK^2)$

                                                   $=32R^4-8R^4=24R^4$ ($\mathbb{const}$) ($\mathbb{đpcm}$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 31-03-2014 - 16:22

[Yagami Raito]

 

2.cho góc vuông $\widehat{xOy}$ cố định.A,B là hai điểm chuyển động trên Ox,Oy sao cho OA+OB=a (a>0 cho trước).C là điểm nằm giữa AB sao cho $OA^{2}=AB.BC$.Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với AB tại C luôn đi qua một điểm cố định

 

 

Dựng HÌnh vuông $OMNP$ với $OM=a$ và hình chữ nhật $ADBO$.

Ta có $BD^2=OA^2=AB.BC$ $\Rightarrow DC$ vuông góc AB.

(Hướng chứng minh: ta sẽ đi chứng minh N;D;C thẳng hàng vì N là điểm cố định cần tìm) 

Thật vậy ta dễ dàng chứng minh $\triangle ADB= \triangle NHD(c.g.c)$

$\Rightarrow \angle ABD =\angle NDH \Rightarrow \angle CDB =\angle KDN$ suy ra $C;D;N$ thẳng hàng.(đpcm)

Vậy đường thẳng vuông góc với AB ở C đi qua điểm $N$ cố định !