Tìm hàm $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn: $f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y))$
$f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y))$
#1
Đã gửi 30-03-2014 - 20:16
#2
Đã gửi 30-11-2014 - 10:29
Tìm hàm $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn: $f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y))$ (*)
Trong (*) thay $x=y$ ta được: $f(f(0))=2f((0)) \Rightarrow f(f(0))=0$
Trong (*) thay $y=0$ ta được: $f(x+f(x))=2x,\forall x\in \mathbb{Q}$ (1) $\Rightarrow$ $f$ toàn ánh
Do $f$ toàn ánh nên tồn tại $a$ sao cho $f(a)=0$
Thay $x=a$ vào (1) ta được: $f(a)=2a \Rightarrow f(0)=0$
Trong (*) thay $x=0$ ta được: $f(2y)=2f(f(y)), \forall y \in \mathbb{Q}$ (2)
Trong (1) cho $x=1$ ta được $f(1+f(1))=2$
Do f toàn ánh nên tồn tại $c$ sao cho $f\left ( c \right )=1+f(1)$
Từ (*) và (2) ta có: $f(x+f(x)+2y)=2x+f(2y), \forall x,y \in \mathbb{Q}$
$\Rightarrow f(x+f(x)+y)=2x+f(y), \forall x,y \in \mathbb{Q}$ (3)
Trong (3) thay $x=1$ và $y=-1-f(1)$ ta được: $f(-1-f(1))=-2$
Trong (3) thay $x=c$ và $y=-1-f(1)$ ta được: $f\left ( c \right )=2c-2 \Rightarrow f(1)+3=2c$
Trong (2) thay $y=c$ ta được: $f(2c)=4$
Trong (*) thay $x=y=1$ ta được: $f(3+f(1))=2+2f(f(1)) \Rightarrow f(f(1))=1$
Trong (1) thay $x=f(1)$ ta được: $f(f(1)+1)=2f(1) \Rightarrow f(1)=1$
Trong (3) thay $x=1$ ta được: $f(2+y)=2+f(y),\forall y\in \mathbb{Q}$ (4)
Từ (4) bằng quy nạp ta chứng minh được: $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{Z}$
Từ (3) bằng quy nạp ta chứng minh được: $f\left ( n\left ( x+f(x) \right ) \right )=nf\left ( x+f(x) \right )=2nx,\forall n\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{Q}$ (5)
Trong (5) thay $x=\frac{1}{2n}$ ta được: $f\left ( n\left ( \frac{1}{2n}+f\left ( \frac{1}{2n} \right ) \right ) \right )=1$
Đặt $n\left ( \frac{1}{2n}+f\left ( \frac{1}{2n} \right ) \right )=b$
Trong (3) thay $x=b$ và $y=-f(b)$ ta được: $f\left ( b+f(b)-f(b) \right )=2b+f(-f(b))\Rightarrow b=1$
$\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2n} \right )=\frac{1}{2n},\forall n\in \mathbb{Z}^{*}$
Trong (5) thay $x$ bởi $\frac{1}{2m}$ ta được: $f\left ( n\left ( \frac{1}{2m}+f\left ( \frac{1}{2m} \right ) \right ) \right )=\frac{n}{m},\forall n\in \mathbb{Z},m\in \mathbb{Z}^{*}$
$\Rightarrow f\left ( \frac{n}{m} \right )=\frac{n}{m},\forall n\in \mathbb{Z},m\in \mathbb{Z}^{*}$
$\Rightarrow f(x)=x,\forall x\in \mathbb{Q}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 30-11-2014 - 10:32
- Zaraki yêu thích
#3
Đã gửi 08-07-2015 - 08:35
Tìm hàm $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn:
$$\begin{equation} \label{pt1} f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y)) \end{equation}$$
Lời giải. Thay $x=y=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f \left( f(0) \right)=2f \left( f(0) \right)$ nên $f \left( f(0) \right)=0$.
Thay $y=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f \left( x+f(x) \right)=2x$, từ đây suy ra $f$ toàn ánh.
Với $f$ toàn ánh thì tồn tại $b$ thoả mãn $f(b)=0$. Thay $x=b$ ta được $f(b+f(b))=2b$ suy ra $b=0$. Vậy $f(0)=0$.
Thay $x=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f(2y)=2f \left( f(y) \right)$.
Từ đây ta suy ra $(\ref{pt1}$) tương đương với $$f \left( x+f(x)+2y \right)= f \left( x+f(x) \right)+ f(2y), \; \forall x,y \in \mathbb{Q}$$
Do đó $f(x)=ax$. Thay vào ta tìm được $a=1$.
Vậy $f(x)=x, \; \forall x \in \mathbb{Q}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 08-07-2015 - 09:20
- mnguyen99 yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#4
Đã gửi 08-07-2015 - 09:11
Lời giải. Thay $x=y=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f \left( f(0) \right)=2f \left( f(0) \right)$ nên $f \left( f(0) \right)=0$.
Thay $y=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f \left( x+f(x) \right)=2x$, từ đây suy ra $f$ toàn ánh.
Thay $x=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f(2y)=2f \left( f(y) \right)$.
Từ đây ta suy ra $(\ref{pt1}$) tương đương với $$f \left( x+f(x)+2y \right)= f \left( x+f(x) \right)+ f(2y), \; \forall x,y \in \mathbb{Q}$$
Do đó $f(x)=ax$. Thay vào ta tìm được $a=1$.
Vậy $f(x)=x, \; \forall x \in \mathbb{Q}$.
Nếu chứng minh được $x+f(x)$ toàn ánh thì mới được dùng hàm cosi nhé
Vừa mới nghĩ ra hướng giải ở topic kia reset lại thì bị ẩn đi mất
- Zaraki yêu thích
#5
Đã gửi 08-07-2015 - 09:19
Nếu chứng minh được $x+f(x)$ toàn ánh thì mới được dùng hàm cosi nhé
Vừa mới nghĩ ra hướng giải ở topic kia reset lại thì bị ẩn đi mất
Chứng minh toàn ánh: $\forall a \in \mathbb{Q}$, chọn $x= \frac a2$ thì $f(x+f(x))=a$. Do đó $f$ toàn ánh.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#6
Đã gửi 08-07-2015 - 09:27
Chứng minh toàn ánh: $\forall a \in \mathbb{Q}$, chọn $x= \frac a2$ thì $f(x+f(x))=a$. Do đó $f$ toàn ánh.
Spoiler
Như vậy thì chỉ có $f$ toàn ánh chứ nếu đặt $g(x)=x+f(x)$ thì $g(x)$ không toàn ánh. Toàn ánh với hàm $f$ ở đây là với mỗi số $y$ ( thuộc tập giá trị của nó) thì luôn tồn tại một số $x$ (thuộc tập xác định) thỏa $f(x)=y$. Ở đây với mỗi số $a$ thì tồn tại $x+f(x)$ thỏa $f(x+f(x))=a$ thì $f$ toàn ánh chứ không phải cái $x+f(x)$. Mọi người hay nhầm lẫn mấy cái này lắm
#7
Đã gửi 08-07-2015 - 14:52
Tìm hàm $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ thoả mãn
$$ f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y))$$
Lời giải.
Thay $x=y=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f \left( f(0) \right)=2f \left( f(0) \right)$ nên $f \left( f(0) \right)=0$.
Thay $y=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $f \left( x+f(x) \right)=2x \qquad (2)$, từ đây suy ra $f$ toàn ánh.
Với $f$ toàn ánh thì tồn tại $b$ thoả mãn $f(b)=0$. Thay $x=b$ ta được $f(b+f(b))=2b$ suy ra $b=0$. Vậy $f(0)=0$. Thay $x=0$ vào ($\ref{pt1}$) ta được $ f(2y)=2f \left( f(y) \right) \qquad (3)$.
Thay $y$ bởi $x$ vào $(\ref{pt1})$ và áp dụng $(2)$ ta được $$f(x+f(x)+f(x+f(x)))=2x+2f(f(x)).$$
Từ $(2)$ ta cũng có $2(x+f(x))= f(x+f(x)+f(x+f(x)))$ nên ta suy ra $2(x+f(x))=2x+2f(f(x))$ hay $f(x)=f(f(x)) \qquad (4)$.
Từ $(3)$ và $(4)$ ta suy ra $f(2y)=2f(y) \qquad (5)$.
Như vậy $(\ref{pt1})$ tương đương với $$f(x+f(x)+2y)=2x+2f(y).$$
Thay $x$ bởi $f(y)$ và áp dụng $(4)$ ta được $f(2y+2f(y))=4f(y).$
Mặt khác, áp dụng $(5)$ và $(2)$ ta có $f(2y+2f(y))=2f(y+f(y))=4y$ nên ta suy ra $f(y)=y$.
Vậy $f(x)=x \; \forall x \in \mathbb{R}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 08-07-2015 - 17:17
- Idie9xx yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh