Chủ đề này có 4 trả lời

[RoyalMadrid]

Cho $x,y,z\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$. Chứng minh: $\frac{x^{3}}{\sqrt{1+y^{^{2}}}}+\frac{y^{3}}{\sqrt{1+z^{^{2}}}}+\frac{z^{3}}{\sqrt{1+x^{^{2}}}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

[lovemathforever99]

Cho $x,y,z\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$. Chứng minh: $\frac{x^{3}}{\sqrt{1+y^{^{2}}}}+\frac{y^{3}}{\sqrt{1+z^{^{2}}}}+\frac{z^{3}}{\sqrt{1+x^{^{2}}}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

 

$\frac{x^{3}}{\sqrt{1+y^{^{2}}}}+\frac{y^{3}}{\sqrt{1+z^{^{2}}}}+\frac{z^{3}}{\sqrt{1+x^{^{2}}}}=\frac{x^{4}}{x\sqrt{1+y^{^{2}}}}+\frac{y^{4}}{y\sqrt{1+z^{^{2}}}}+\frac{z^{4}}{z\sqrt{1+x^{^{2}}}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{x\sqrt{1+y^{^{2}}}+y\sqrt{1+z^{^{2}}}+z\sqrt{1+x^{^{2}}}}\geq \frac{3^{2}}{\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})((x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}+3)}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 31-03-2014 - 13:35

[25 minutes]

Cho $x,y,z\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$. Chứng minh: $\frac{x^{3}}{\sqrt{1+y^{^{2}}}}+\frac{y^{3}}{\sqrt{1+z^{^{2}}}}+\frac{z^{3}}{\sqrt{1+x^{^{2}}}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Cách 2: 

Áp dụng AM-GM ta có 

       $\frac{x^3}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{x^3}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1+y^2}{2\sqrt{2}}\geqslant \frac{3x^2}{\sqrt{2}}$

Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta được

       $\sum \frac{x^3}{\sqrt{1+y^2}}\geqslant \frac{5\sqrt{2}}{8}(x^2+y^2+z^2)-\frac{3}{4\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

[RoyalMadrid]

$\frac{x^{3}}{\sqrt{1+y^{^{2}}}}+\frac{y^{3}}{\sqrt{1+z^{^{2}}}}+\frac{z^{3}}{\sqrt{1+x^{^{2}}}}=\frac{x^{4}}{x\sqrt{1+y^{^{2}}}}+\frac{y^{4}}{y\sqrt{1+z^{^{2}}}}+\frac{z^{4}}{z\sqrt{1+x^{^{2}}}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{x\sqrt{1+y^{^{2}}}+y\sqrt{1+z^{^{2}}}+z\sqrt{1+x^{^{2}}}}\geq \frac{3^{2}}{\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})((x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}+3)}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Chỗ cuối áp dụng bđt nào vậy bạn?

[25 minutes]

Chỗ cuối áp dụng bđt nào vậy bạn?

Áp dụng Cauchy-Schwarzt nhưng chắc nhầm rồi

Phải là $\sum x\sqrt{1+y^2}\leqslant \sqrt{(x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2+z^2+3)}$