Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$A=\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a}$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$A=\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a}$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$A=\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a}$
Ta có
$2A=\sum \frac{2a^2b}{2a+b}=\sum (ab-\frac{ab^2}{2a+b})=\sum ab-\sum \frac{ab^2}{2a+b}$
Áp dụng BĐT Cô si
$\frac{ab^2}{2a+b}+\frac{a(2a+b)}{9}+\frac{ab}{3}\geqslant ab$
Thiết lập tương tự với các phan thức còn lại thì
$\sum \frac{ab^2}{2a+b}+\sum \frac{a(2a+b)}{9}+\sum \frac{ab}{3}\geqslant \sum ab$
hay $\sum \frac{ab^2}{2a+b}+\frac{2(a+b+c)^2}{9}\geqslant \sum ab$
$\Leftrightarrow \sum \frac{ab^2}{2a+b}\geqslant \sum ab-2$
$\Rightarrow 2A\leqslant \sum ab-\sum ab+2=2\Rightarrow A\leqslant 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 31-03-2014 - 17:56
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$A=\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a}$
Cách 2 :
áp dụng bđt schwars ta có
$\sum \frac{a^{2}b}{2a+b}\leqslant \frac{1}{9}\sum (\frac{a^{2}b}{a}+\frac{a^{2}b}{a}+\frac{a^{2}b}{b})= \frac{1}{9}\sum (a^{2}+2ab)= \frac{1}{9}(a+b+c)^{2}= 1$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh