Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi HSG thành phố Hà Nội cấp THCS năm 2013-2014

thi hsg

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 31 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1564 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Recently trying to grasp Étale Cohomology

Đã gửi 31-03-2014 - 18:23

                             KỲ THI HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC $2013-2014$

Bài $1$ 

a) Cho các số thực khác $0$ thỏa mãn $a+b+c=2014$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2014}$

Tính giá trị $M = \frac{1}{a^{2013}}+\frac{1}{b^{2013}}+\frac{1}{c^{2014}}$

b) Tìm số tự nhiên $n$ để $5^{2n^{2}-6n+2}-12$ là số nguyên tố

Bài $2$ 

a) Giải phương trình $x^{2}-2x-2\sqrt{2x+1}-2=0$

b) Giải hệ phương trình

                                               $x^{2}+y^{2}=4z-5+2xy$

                                               $x^{4}+y^{4}=9z-5-4z^{2}-2x^{2}y^{2}$

Bài $3$ : Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=6$ và $0\leq a,b,c\leq 4$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac$

Bài $4$ : Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ , tâm đường tròn nội tiếp $(I)$ , tia $AI$ cắt $(O)$ ở $M$ , kẻ đường kính $MN$ , cắt $BC$ tại $P$ .

a) Chứng minh các tam giác $MIB$ và $MIC$ là tam giác cân .

b) Chứng minh $sin \frac{\angle BAC}{2} = \frac{IP}{IN}$

c) Giả sử $ID$ và $IE$ vuông góc với $AB,AC$ sao cho $D,E$ nằm lần lượt trên $AB,AC$ . Gọi $H,K$ lần lượt đối xứng với $D,E$ qua $I$ .

Chứng minh rằng nếu $AB+AC=3BC$ thì bốn điểm $B,C,H,K$ nằm trên một đường tròn.

Bài $5$ : a) Giải phương trình nghiệm tự nhiên $5^{x}-2^{y}=1$

b) Cho lục giác đều $ABCDEF$ và điểm $P$ nằm trong lục giác này . Các tia $AP,BP,CP,DP,EP,FP$ cắt các cạnh đa giác ở $M_{1},M_{2},M_{3},M_{4},M_{5},M_{6}$ . Biết rằng cạnh lục giác $ABCDEF$ là $1$ . Chứng minh lục giác $M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}M_{5}M_{6}$ có ít nhất một cạnh không nhỏ hơn $1$ . 

Hình gửi kèm

  • De_Toan_TP_2014.jpeg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 02-04-2014 - 19:18

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#2 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 31-03-2014 - 18:42

                                       KỲ THI HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC $2013-2014$

Bài $1$ 

a) Cho các số thực khác $0$ thỏa mãn $a+b+c=2014$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2014}$

Tính giá trị $M = \frac{1}{a^{2013}}+\frac{1}{b^{2013}}+\frac{1}{c^{2014}}$

b) Tìm số tự nhiên $n$ để $25^{n^{2}-3n+1}-12$ là số nguyên tố

Bài $2$ 

a) Giải phương trình $x^{2}-2x-2\sqrt{2x+1}-2=0$

b) Giải hệ phương trình

                                               $x^{2}+y^{2}=4x-5+2xy$

                                               $x^{4}+y^{4}=9z-5-4z^{2}-2x^{2}y^{2}$

Bài $3$ : Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=6$ và $0\leq a,b,c\leq 4$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac$

Bài $4$ : Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ , tâm đường tròn nội tiếp $(I)$ , tia $AI$ cắt $(O)$ ở $M$ , kẻ đường kính $MN$ , cắt $BC$ tại $P$ .

a) Chứng minh các tam giác $MIB$ và $MIC$ là tam giác cân .

b) Chứng minh $sin \frac{\angle BAC}{2} = \frac{IP}{IN}$

c) Giả sử $ID$ và $IE$ vuông góc với $AB,AC$ sao cho $D,E$ nằm lần lượt trên $AB,AC$ . Gọi $H,K$ lần lượt đối xứng với $D,E$ qua $I$ .

Chứng minh rằng nếu $AB+AC=3BC$ thì bốn điểm $B,C,H,K$ nằm trên một đường tròn.

Bài $5$ : a) Giải phương trình nghiệm tự nhiên $5^{x}-2^{y}=1$

b) Cho lục giác đều $ABCDEF$ và điểm $P$ nằm trong lục giác này . Các tia $AP,BP,CP,DP,EP,FP$ cắt các cạnh đa giác ở $M_{1},M_{2},M_{3},M_{4},M_{5},M_{6}$ . Biết rằng cạnh lục giác $ABCDEF$ là $1$ . Chứng minh lục giác $M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}M_{5}M_{6}$ có ít nhất một cạnh không nhỏ hơn $1$ . 

1,

a)

 

Từ $GT \Rightarrow \frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}=\frac{-(a+b)}{c(a+b+c)}$
$\Leftrightarrow (a+b)(ac+bc+{c^2})=-(a+b)ab$
$\Leftrightarrow (a+b)(ac+bc+{c^2}+ab)=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$
 
Nếu $a+b=0\Rightarrow c=2014\Rightarrow a=-b\Rightarrow {a^{2013}}=-{b^{2013}}$
$\Rightarrow \frac{1}{{a^{2013}}}=-\frac{1}{{b^{2013}}}$
$\Rightarrow M=\frac{1}{{c^{2013}}}=\frac{1}{{2014^{2013}}}$
Tương tự ...


#3 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 31-03-2014 - 18:52

KỲ THI HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC $2013-2014$
1)
b) Tìm số tự nhiên $n$ để $25^{n^{2}-3n+1}-12$ là số nguyên tố

Xét $n^{2}-3n+1<0$ loại
$n^{2}-3n+1=0$ loại
$n^{2}-3n+1=1$ t/m
$n^{2}-3n+1>1$$n^{2}-3n+1=n(n-3)+1$ lẻ $\Rightarrow 25^{^{n^{2}-3n+1}}-12\vdots 13$ và > 13 loại
Vậy $n^{2}-3n+1=1\Rightarrow \begin{bmatrix} n=0 & \\ n=3& \end{bmatrix}$

KỲ THI HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC $2013-2014$

Bài $2$
a) Giải phương trình $x^{2}-2x-2\sqrt{2x+1}-2=0$

Ta có
$PT\Leftrightarrow x^{2}=(\sqrt{2x+1}+1)^{2}$$\Leftrightarrow \pm x=\sqrt{2x+1}$

%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#4 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 31-03-2014 - 19:02

 

Bài $5$ : a) Giải phương trình nghiệm tự nhiên $5^{x}-2^{y}=1$

 

Xét $x=1\Rightarrow y=2$

Xét $x\geq 2$

PT$\Leftrightarrow 5^{x}=2^{y}+1=(3-1)^{y}+1=3M-1+1=3M$(M là số tự nhiên)

vế trái không chia hết cho 3, vế phải chia hết cho 3

nên pt vô nghiệm


                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#5 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 31-03-2014 - 19:05

                                       KỲ THI HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC $2013-2014$

Bài $1$ 

a) Cho các số thực khác $0$ thỏa mãn $a+b+c=2014$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2014}$

Tính giá trị $M = \frac{1}{a^{2013}}+\frac{1}{b^{2013}}+\frac{1}{c^{2014}}$

b) Tìm số tự nhiên $n$ để $25^{n^{2}-3n+1}-12$ là số nguyên tố

Bài $2$ 

a) Giải phương trình $x^{2}-2x-2\sqrt{2x+1}-2=0$

b) Giải hệ phương trình

                                               $x^{2}+y^{2}=4x-5+2xy$

                                               $x^{4}+y^{4}=9z-5-4z^{2}-2x^{2}y^{2}$

Bài $3$ : Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=6$ và $0\leq a,b,c\leq 4$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac$

Bài $4$ : Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ , tâm đường tròn nội tiếp $(I)$ , tia $AI$ cắt $(O)$ ở $M$ , kẻ đường kính $MN$ , cắt $BC$ tại $P$ .

a) Chứng minh các tam giác $MIB$ và $MIC$ là tam giác cân .

b) Chứng minh $sin \frac{\angle BAC}{2} = \frac{IP}{IN}$

c) Giả sử $ID$ và $IE$ vuông góc với $AB,AC$ sao cho $D,E$ nằm lần lượt trên $AB,AC$ . Gọi $H,K$ lần lượt đối xứng với $D,E$ qua $I$ .

Chứng minh rằng nếu $AB+AC=3BC$ thì bốn điểm $B,C,H,K$ nằm trên một đường tròn.

Bài $5$ : a) Giải phương trình nghiệm tự nhiên $5^{x}-2^{y}=1$

b) Cho lục giác đều $ABCDEF$ và điểm $P$ nằm trong lục giác này . Các tia $AP,BP,CP,DP,EP,FP$ cắt các cạnh đa giác ở $M_{1},M_{2},M_{3},M_{4},M_{5},M_{6}$ . Biết rằng cạnh lục giác $ABCDEF$ là $1$ . Chứng minh lục giác $M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}M_{5}M_{6}$ có ít nhất một cạnh không nhỏ hơn $1$ . 

3.

Do $(a-4)(b-4)(c-4)\leq 0\Rightarrow ab+bc+ca\geq ...$

Có: $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac=(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)\leq 36-...\leq ...$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 31-03-2014 - 19:11


#6 Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 31-03-2014 - 19:18

Xét $x=1\Rightarrow y=2$

Xét $x\geq 2$

PT$\Leftrightarrow 5^{x}=2^{y}+1=(3-1)^{y}+1=3M-1+1=3M$(M là số tự nhiên)

vế trái không chia hết cho 3, vế phải chia hết cho 3

nên pt vô nghiệm

Mình không hiểu chỗ này của bạn lắm 

Chưa chắc $2^y+1\vdots 3$

vì $2^y+1\equiv (1-)^y+1\equiv 0(mod 3)\Leftrightarrow y$ lẻ thôi còn $y$ chẵn thì đâu có đúng

Ở đây theo mình nên xét $y$ chẵn $y$ lẻ sẽ đúng hơn

P/s: ý kiến cá nhân


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 31-03-2014 - 19:18


#7 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 31-03-2014 - 19:27

3.

Do $(a-4)(b-4)(c-4)\leq 0\Rightarrow ab+bc+ca\geq ...$

Có: $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac=(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)\leq 36-...\leq ...$

còn abc bỏ đâu


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#8 phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 31-03-2014 - 19:50

                                       KỲ THI HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC $2013-2014$

Bài $5$ : a) Giải phương trình nghiệm tự nhiên $5^{x}-2^{y}=1$

 

 

$5^x=2^y+1  \Leftrightarrow 2^{y}=5^x-1$

+$x=1$ thì $y=2$

+Xét $x>1$ thì $y>2$

-Nếu $x$ chẵn $\Rightarrow5^x-1=5^{2k}-1=25^k-1=24(...)\vdots 3\Rightarrow 2^{y}\vdots 3$ (vô lý)

-Nếu $x$ lẻ $\Rightarrow 5^x-1=4(5^{x-1}+5^{x-2}+...+1)$

$\Leftrightarrow 2^{y-2}=5^{x-1}+5^{x-2}+...+1\equiv \underbrace {1+1+...+1}_x \equiv x\equiv 1(mod2)$ (do $5\equiv 1(mod2)$)

$\Rightarrow 2^{y-2}$ không chia hết cho $2$ (vô lý vì $y>2$)

 

Vậy $(x;y)=(1;2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 31-03-2014 - 19:52


#9 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1564 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Recently trying to grasp Étale Cohomology

Đã gửi 31-03-2014 - 20:03

Chán quá tớ bỏ câu $4c$ với $5b$ :P  :wacko:  hic hic ai ngờ câu $5b$ cũng dễ , câu $4b$ nghĩ mất nhiều time quá hic chán 

Câu bdt :

Giả sử $a \geq b \geq c$ thì $4\geq a \geq 2$

Ta có $P = (a+b+c)^{2}-ab-bc-ac = 36 - ab-bc-ac$

Xét $A=ab+bc+ac=a(6-a)+bc\geq a(6-a)$

Ta có $0 \geq (a-4)(a-2)$ nên $6a-8 \geq a^{2}$ nên $a(6-a)\geq 8$ ta có GTLN của $P$ là $28$ , dấu bằng lệch là hoán vị $(4,2,0)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 31-03-2014 - 20:04

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#10 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1564 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Recently trying to grasp Étale Cohomology

Đã gửi 31-03-2014 - 20:06

3.

Do $(a-4)(b-4)(c-4)\leq 0\Rightarrow ab+bc+ca\geq ...$

Có: $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac=(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)\leq 36-...\leq ...$

Giải như thật ý nhỉ , thế này vào phòng thi ..... thì ........


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#11 phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 31-03-2014 - 20:07

                                       KỲ THI HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC $2013-2014$

 

Bài $3$ : Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=6$ và $0\leq a,b,c\leq 4$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac$

 

3.

Do $(a-4)(b-4)(c-4)\leq 0\Rightarrow ab+bc+ca\geq ...$

Có: $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac=(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)\leq 36-...\leq ...$

 

 

 

còn abc bỏ đâu

Mình xin được trình bày ý tưởng của bạn Viet Hoang 99 chi tiết hơn 

Do $0\leq a;b;c\leq 4\Rightarrow (a-4)(b-4)(c-4)\leq 0$

      $\Leftrightarrow 4(ab+bc+ca)\geq abc+16(a+b+c)-64\geq 0+16.6-64=32$ (do $abc\geq 0$)

      $\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 8$

Do đó $P=(a+b+c)^2-(ab+bc+ca)\leq 36-8=28$

Đẳng thức xảy ra tại $(a;b;c)=(4;2;0)$ và các hoán vị


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocdinh1999: 31-03-2014 - 20:07


#12 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 31-03-2014 - 20:16

                                       KỲ THI HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC $2013-2014$

 

Bài $3$ : Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=6$ và $0\leq a,b,c\leq 4$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac$

 

Một cách khác cho bài BĐT :)
Ta có : 
$gt\Rightarrow 2P=(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^{2}$
Đặt :
$\left\{\begin{matrix} a=2+x & \\ b=2+y & \\ c=2+z & \end{matrix}\right.\Rightarrow x+y+z=0(x;y;z\in \left [ -2;2 \right ])$
Chắc chắc tồn tại 2 trong 3 số $x;y;z$ cùng $\geq 0$ hoặc $\leq 0$
Giả sử đó là $x;y$
Mà : $x+y=-z\Rightarrow x^{2}+2xy+y^{2}=z^{2}\Rightarrow z^{2}\geq x^{2}+y^2(2xy\geq 0)$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+12\leq 2z^{2}+12\leq 2.4+12=20$
$\Rightarrow 2P\leq 20+16=56\Rightarrow P\leq 28$
Dấu $"="$ xảy ra khi : $(a;b;c)=(0;2;4)$ và các hoán vị 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 31-03-2014 - 20:16

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#13 phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 31-03-2014 - 20:40

                                       KỲ THI HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC $2013-2014$

b) Giải hệ phương trình

                                               $x^{2}+y^{2}=4x-5+2xy(1)$

                                               $x^{4}+y^{4}=9z-5-4z^{2}-2x^{2}y^{2}(2)$

 

$PT(2)\Leftrightarrow (x^2+y^2)^2=-4z^2+9z-5=-4(z-\frac{9}{8})^2+\frac{1}{16}\leq \frac{1}{16}$

          $\Rightarrow x^2+y^2\leq \frac{1}{4}(3)$

 

$PT(1)\Leftrightarrow (x-y)^2=4x-5\geq 0\Rightarrow x^2\geq \frac{25}{16}\Rightarrow x^2+y^2>\frac{1}{4}(4)$

Từ (3),(4) dẫn đến điều mâu thuẫn

Vậy HPT vô nghiệm



#14 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1564 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Recently trying to grasp Étale Cohomology

Đã gửi 31-03-2014 - 21:55

$PT(2)\Leftrightarrow (x^2+y^2)^2=-4z^2+9z-5=-4(z-\frac{9}{8})^2+\frac{1}{16}\leq \frac{1}{16}$

          $\Rightarrow x^2+y^2\leq \frac{1}{4}(3)$

 

$PT(1)\Leftrightarrow (x-y)^2=4x-5\geq 0\Rightarrow x^2\geq \frac{25}{16}\Rightarrow x^2+y^2>\frac{1}{4}(4)$

Từ (3),(4) dẫn đến điều mâu thuẫn

Vậy HPT vô nghiệm

Mình đánh nhầm , phương trình đầu là $4z-5+2xy$


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#15 phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 31-03-2014 - 22:11

                                       KỲ THI HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC $2013-2014$

 

b) Giải hệ phương trình

                                               $x^{2}+y^{2}=4z-5+2xy(1)$

                                               $x^{4}+y^{4}=9z-5-4z^{2}-2x^{2}y^{2}(2)$

 

Nếu sửa đề lại thì có vẻ dễ hơn :icon6:

$PT(1)\Leftrightarrow (x-y)^2=4z-5\geq 0\Rightarrow z\geq \frac{5}{4}$

$PT(2)\Leftrightarrow (x^2+y^2)^2=-4z^2+9z-5=-(z-1)(4z-5)\leq 0$ (do $z\geq \frac{5}{4}$)

$\Rightarrow x^2+y^2=0\Rightarrow x=y=0$ và $z=\frac{5}{4}$

Thử lại thấy thoả mãn

Vậy $(x;y;z)=(0;0;\frac{5}{4})$



#16 chmod

chmod

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết

Đã gửi 02-04-2014 - 10:02

 

Xét $x\geq 2$

PT$\Leftrightarrow 5^{x}=2^{y}+1=(3-1)^{y}+1=3M-1+1=3M$(M là số tự nhiên)

vế trái không chia hết cho 3, vế phải chia hết cho 3

nên pt vô nghiệm

Chỗ này sai rồi bạn ơi , tại sao về phải = 3M được , bạn thay y=4 xem vế phải có chia hết cho 3 không ???

 

Ta có $5^x-1=2^y \Leftrightarrow (5-1)(5^{x-1}+5^{x-2}+...+5+1)=2^y$

 

         $\Leftrightarrow 5^{x-1}+5^{x-2}+...+5+1=2^{y-2}$    $ \Rightarrow 5^{x-1}+5^{x-2}+...+5+1$  là 1 số chẵn

 

        $\Rightarrow 5^{x-1}+5^{x-2}+...+5$   là 1 số lẻ  , do đây là tổng của $x-1$  số lẻ là lũy thừa của $5$ nên  $x-1$  phải là số  lẻ , khi đó $x$ là số chẵn

 

Dể thấy khi $x$ chẵn thì $5^x$  chia 3  dư 1  , còn $2^y$  không chia hết cho 3 nên $2^y+1$  chia 3 không thể dư 1  , hay nói cách khác phương trình vô nghiệm

 

vậy nghiệm suy nhất là $x=1, y=2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chmod: 02-04-2014 - 10:04


#17 nx0909

nx0909

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Đã gửi 02-04-2014 - 21:14

Câu 4c dùng ptoleme, ngoại tiếp đường tròn tâm M

#18 phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 04-04-2014 - 11:33

                             KỲ THI HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC $2013-2014$

 

Bài $4$ : Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ , tâm đường tròn nội tiếp $(I)$ , tia $AI$ cắt $(O)$ ở $M$ , kẻ đường kính $MN$ , cắt $BC$ tại $P$ .

a) Chứng minh các tam giác $MIB$ và $MIC$ là tam giác cân .

b) Chứng minh $sin \frac{\angle BAC}{2} = \frac{IP}{IN}$

c) Giả sử $ID$ và $IE$ vuông góc với $AB,AC$ sao cho $D,E$ nằm lần lượt trên $AB,AC$ . Gọi $H,K$ lần lượt đối xứng với $D,E$ qua $I$ .

Chứng minh rằng nếu $AB+AC=3BC$ thì bốn điểm $B,C,H,K$ nằm trên một đường tròn.

 

1067772266_342507760_574_574.jpg

 

a)Câu này chắc ai cũng làm được :icon6:

CM: $\widehat{MIB}=\widehat{MBI}=\frac{\widehat{B}+\widehat{A}}{2}$ => đpcm

 

b)Ta có: $MP.MN=MC^2=MI^2$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow \frac{MI}{MP}=\frac{MN}{MI}\Rightarrow \Delta MIP \sim \Delta MNI$

$\Rightarrow \frac{IP}{IN}=\frac{IM}{MN}=\frac{MC}{MN}=sin\widehat{MNP}=sin\frac{\widehat{A}}{2}$

 

c)Vẽ $ML \perp IK$

Theo tính chất tiếp tuyến: $AE=\frac{AB+AC-BC}{2}=BC=2BP(1)$

Lại có: $\widehat{MIL}=90^0-\frac{\widehat{A}}{2}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}=\frac{\widehat{BMC}}{2}=\widehat{BMP}$     và          $MI=MB$

$\Rightarrow \Delta MLI=\Delta BPM\Rightarrow ML=BP(2)$ 

 

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $AE=2ML$

 

Vì $ML//AE\Rightarrow \frac{IL}{IE}=\frac{ML}{AE}=\frac{1}{2}\Rightarrow IL=\frac{1}{2}IE=\frac{1}{2}IK$

 

$\Rightarrow L$ là trung điểm $IK$ $\Rightarrow \Delta MIK$ cân tại $M$$\Rightarrow MK=MI$

 

Tương tự $MI=MH=MK=MB=MC\Rightarrow B,H,K,C \in\left ( M \right )$



#19 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1564 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Recently trying to grasp Étale Cohomology

Đã gửi 04-04-2014 - 18:04

Giải nốt câu cuối cho gọn đề 

Không mất tính tổng quát , giả sử $P$ nằm trong tam giác $OAB$ thì khi đó tia $AP$ chỉ cắt được một trong hai cạnh của đa giác là $BC$ và $CD$

Tương tự $BP$ chỉ cắt được một trong hai cạnh là $AF$ hoặc $FE$ .

Không mất tổng quát nữa giả sử $M_{1},M_{2}$ nằm lần lượt trên hai cạnh $CD$ và $FE$

Giả sử khoảng cách từ $M_{1}$ đến $CD$ ngắn hơn từ $M_{2}$ đến $CD$.

Kẻ tia $M_{1}T$ song song với $CD$ khi đó ta có $M_{1}M_{2} \geq M_{1}T \geq CD=1$ là đpcm .

Không liên quan cho hỏi phuocdinh1999 làm câu $4c$ mất bao nhiêu time zị . 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 04-04-2014 - 18:06

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#20 phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 04-04-2014 - 19:19

Giải nốt câu cuối cho gọn đề 

Không mất tính tổng quát , giả sử $P$ nằm trong tam giác $OAB$ thì khi đó tia $AP$ chỉ cắt được một trong hai cạnh của đa giác là $BC$ và $CD$

Tương tự $BP$ chỉ cắt được một trong hai cạnh là $AF$ hoặc $FE$ .

Không mất tổng quát nữa giả sử $M_{1},M_{2}$ nằm lần lượt trên hai cạnh $CD$ và $FE$

Giả sử khoảng cách từ $M_{1}$ đến $CD$ ngắn hơn từ $M_{2}$ đến $CD$.

Kẻ tia $M_{1}T$ song song với $CD$ khi đó ta có $M_{1}M_{2} \geq M_{1}T \geq CD=1$ là đpcm .

Không liên quan cho hỏi phuocdinh1999 làm câu $4c$ mất bao nhiêu time zị . 

Câu 4a và 4b thì khá nhanh(chắc tầm 5-6p  :icon6: )

Còn câu 4c thì cái hình vẽ ban đầu ko đúng nên bế tắc khá lâu :(  (tầm 30p), khi vẽ lại hình và phát hiện $AE=BC$ thì giải quyết khá là nhanh(thêm 10p :icon6: )







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: thi hsg

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh