KỲ THI HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC $2013-2014$
Bài $1$
a) Cho các số thực khác $0$ thỏa mãn $a+b+c=2014$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2014}$
Tính giá trị $M = \frac{1}{a^{2013}}+\frac{1}{b^{2013}}+\frac{1}{c^{2014}}$
b) Tìm số tự nhiên $n$ để $5^{2n^{2}-6n+2}-12$ là số nguyên tố
Bài $2$
a) Giải phương trình $x^{2}-2x-2\sqrt{2x+1}-2=0$
b) Giải hệ phương trình
$x^{2}+y^{2}=4z-5+2xy$
$x^{4}+y^{4}=9z-5-4z^{2}-2x^{2}y^{2}$
Bài $3$ : Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=6$ và $0\leq a,b,c\leq 4$
Tìm giá trị lớn nhất của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac$
Bài $4$ : Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ , tâm đường tròn nội tiếp $(I)$ , tia $AI$ cắt $(O)$ ở $M$ , kẻ đường kính $MN$ , cắt $BC$ tại $P$ .
a) Chứng minh các tam giác $MIB$ và $MIC$ là tam giác cân .
b) Chứng minh $sin \frac{\angle BAC}{2} = \frac{IP}{IN}$
c) Giả sử $ID$ và $IE$ vuông góc với $AB,AC$ sao cho $D,E$ nằm lần lượt trên $AB,AC$ . Gọi $H,K$ lần lượt đối xứng với $D,E$ qua $I$ .
Chứng minh rằng nếu $AB+AC=3BC$ thì bốn điểm $B,C,H,K$ nằm trên một đường tròn.
Bài $5$ : a) Giải phương trình nghiệm tự nhiên $5^{x}-2^{y}=1$
b) Cho lục giác đều $ABCDEF$ và điểm $P$ nằm trong lục giác này . Các tia $AP,BP,CP,DP,EP,FP$ cắt các cạnh đa giác ở $M_{1},M_{2},M_{3},M_{4},M_{5},M_{6}$ . Biết rằng cạnh lục giác $ABCDEF$ là $1$ . Chứng minh lục giác $M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}M_{5}M_{6}$ có ít nhất một cạnh không nhỏ hơn $1$ .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 02-04-2014 - 19:18