Chủ đề này có 2 trả lời

[phuocdinh1999]

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$

Chứng minh: $a+b+c\leq 3$

[phamquanglam]

Bài này chứng minh hay lắm!!!!!!!!

Ta chứng minh phản chứng: 

Có nghĩa là giả sử a+b+c=3. Cần CM $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

Thật vậy:

Ta có $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)+1$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=9-2(ab+bc+ca)$

Đặt a+b+c=p=3, ab+bc+ca=q, abc=r

Như vậy ta chỉ cần chứng minh: $9-2q+r\geq 4$$\Rightarrow r\geq 2q-5 (1)$

Mặt khác theo BĐT Schur $\sum a(a-b)(a-c)\geq 0$

$\Rightarrow r\geq \frac{4q-9}{3}(2)$

Từ (1), (2) ta cần Chứng minh $\frac{4q-9}{3}\geq 2q-5$$\Leftrightarrow q\leq 3$

Điều này luôn đúng => đpcm

[phuocthinh02]

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$ 

Chứng minh: $a+b+c\leq 3$

Áp dụng BĐT cô-si cho 3 số k âm $a^{2},b^{2},c^{2}$ ta có : $a^{2}+b^2+c^{2}\geq 3abc$

$a^{2}+b^2+c^{2}+abc\geq 4abc\geq 4$

$\Leftrightarrow abc\geq 1$

Áp dụng BĐT Bu-nhia-cốp-ski cho 2 bộ số $(1;1;1)$ và $(a;b;c)$ ta có:

$a.1+b.1+c.1\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=\sqrt{3(4-abc)}\leq 3$ (đpcm)

 

Sorry, mình nhầm )) Mình làm sai rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocthinh02: 31-03-2014 - 22:51