Em đang học lớp 9 nên m.n đừng dùng sigma nhé. Với cả đề này đúng,ko có sai đâu nha.
Câu 3:Với x,y,z>0.Tìm min:
$A=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+8zx}}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+8xy}}$
Bài này mình nghĩ ra một cách làm khá đơn giản sau đây
Đặt $a^3=\frac{yz}{x^2};b^3=\frac{xz}{y^2};c^3=\frac{xy}{z^2}\Rightarrow abc=1$ và $a,b,c>0$
$A=\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}$
Áp dụng BĐT AM-GM: $\sqrt{(1+2a)(4a^2-2a+1)}\leq \frac{4a^2+2}{2}=2a^2+1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq \frac{1}{2a^2+1}$
Lập 3 BĐT tương tự ta cần CM: $\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\geq 1$
$\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq 3$ (BĐT này đúng theo AM-GM và $abc=1$)
Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z$