Chủ đề này có 8 trả lời

[Dam Uoc Mo]

Em đang học lớp 9 nên m.n đừng dùng sigma nhé. Với cả đề này đúng,ko có sai đâu nha.
Câu 1: Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.Tìm $maxA=x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}.$

Câu 2 Tìm min $A=\frac{x^{2}}{1-x}+\frac{y^{2}}{1-y}+\frac{1}{x+y}+xy.$ (Với 0<x,y<1)

Câu 3:Với x,y,z>0.Tìm min:

$A=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+8zx}}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+8xy}}$

[NMDuc98]

Sẵn có trong máy nên a không viết ra nữa nha!!

[Kaito Kuroba]

Câu 3:Với x,y,z>0.Tìm min:

$A=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+8zx}}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+8xy}}$

ta có:

$A=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+8zx}}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+8xy}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x\sqrt{x^2+8yz}+y\sqrt{y^2+8zx}+z\sqrt{z^2+8xy}}$    $(*)$

 

mặt khác ta có: $x\sqrt{x^2+8yz}+y\sqrt{y^2+8zx}+z\sqrt{z^2+8xy}\leq \sqrt{\left ( x+y+z \right )(x^3+y^3+z^3+24xyz)}$   $(**)$

mà: $(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)\geq x^3+y^3+z^3+24xyz$ nên $(**)$ trở thành: $x\sqrt{x^2+8yz}+y\sqrt{y^2+8zx}+z\sqrt{z^2+8xy}\leq (x+y+z)^2$

từ đây suy ra: $Min A=1;"="\Leftrightarrow x=y=z$

[lovemathforever99]

Câu 3:Với x,y,z>0.Tìm min:

$A=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+8zx}}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+8xy}}$

$A=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+8zx}}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+8xy}}\geq \frac{x^{2}}{x\sqrt{x^{2}+8yz}}+\frac{y^{2}}{y\sqrt{y^{2}+8yz}}+\frac{z^{2}}{z\sqrt{z^{2}+8yz}}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\sqrt{x(x^{3}+8xyz)}+\sqrt{y(y^{3}+8xyz)}+\sqrt{z(z^{3}+8xyz)}} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\sqrt{(x+y+z)(x^{3}+y^{3}+z^{3}+24xyz)}}$

Việc còn lại là cm $x^{3}+y^{3}+z^{3}+24xyz\leq (x+y+z)^{3}$ (dùng tương đương)

Vậy $A\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 01-04-2014 - 12:11

[phuocdinh1999]

Em đang học lớp 9 nên m.n đừng dùng sigma nhé. Với cả đề này đúng,ko có sai đâu nha.
 

Câu 3:Với x,y,z>0.Tìm min:

$A=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+8zx}}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+8xy}}$

Bài này mình nghĩ ra một cách làm khá đơn giản sau đây

 

Đặt $a^3=\frac{yz}{x^2};b^3=\frac{xz}{y^2};c^3=\frac{xy}{z^2}\Rightarrow abc=1$ và $a,b,c>0$

$A=\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}$

Áp dụng BĐT AM-GM: $\sqrt{(1+2a)(4a^2-2a+1)}\leq \frac{4a^2+2}{2}=2a^2+1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq \frac{1}{2a^2+1}$

Lập 3 BĐT tương tự ta cần CM: $\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\geq 1$

$\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq 3$ (BĐT này đúng theo AM-GM và $abc=1$)

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z$

[Dam Uoc Mo]

$A=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+8yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+8zx}}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+8xy}}\geq \frac{x^{2}}{x\sqrt{x^{2}+8yz}}+\frac{y^{2}}{y\sqrt{y^{2}+8yz}}+\frac{z^{2}}{z\sqrt{z^{2}+8yz}}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\sqrt{x(x^{3}+8xyz)}+\sqrt{y(y^{3}+8xyz)}+\sqrt{z(z^{3}+8xyz)}} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\sqrt{(x+y+z)(x^{3}+y^{3}+z^{3}+24xyz)}}$

Việc còn lại là cm $x^{3}+y^{3}+z^{3}+24xyz\leq (x+y+z)^{3}$ (dùng tương đương)

Vậy $A\geq 1$

Cách cậu giống cách Kaito nha,nhg chỗ này nhầm dấu này,dấu nối phải là dấu "=" nha.

[Dam Uoc Mo]

Bài này mình nghĩ ra một cách làm khá đơn giản sau đây

 

Đặt $a^3=\frac{yz}{x^2};b^3=\frac{xz}{y^2};c^3=\frac{xy}{z^2}\Rightarrow abc=1$ và $a,b,c>0$

$A=\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}$

Áp dụng BĐT AM-GM: $\sqrt{(1+2a)(4a^2-2a+1)}\leq \frac{4a^2+2}{2}=2a^2+1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq \frac{1}{2a^2+1}$

Lập 3 BĐT tương tự ta cần CM: $\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\geq 1$

$\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq 3$ (BĐT này đúng theo AM-GM và $abc=1$)

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z$

Chỗ đó tại sao lại tương đương như vậy?Giải thích giúp mình với.

[phuocdinh1999]

 

Bài này mình nghĩ ra một cách làm khá đơn giản sau đây

 

Đặt $a^3=\frac{yz}{x^2};b^3=\frac{xz}{y^2};c^3=\frac{xy}{z^2}\Rightarrow abc=1$ và $a,b,c>0$

$A=\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}$

Áp dụng BĐT AM-GM: $\sqrt{(1+2a)(4a^2-2a+1)}\leq \frac{4a^2+2}{2}=2a^2+1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq \frac{1}{2a^2+1}$

Lập 3 BĐT tương tự ta cần CM: $\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\geq 1$

$\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq 3$ (BĐT này đúng theo AM-GM và $abc=1$)

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z$

Chỗ đó tại sao lại tương đương như vậy?Giải thích giúp mình với.

 

Quy đồng mẫu số là ra thôi bạn

[Dam Uoc Mo]

Quy đồng mẫu số là ra thôi bạn

Tớ không ra vậy? Khi quy đồng xuất hiện tích a²b²c²?